基于渗透率张量的各向异性油藏两相渗流数值模拟

单 娴,姚 军

(中国石油大学石油工程学院,山东青岛266555)

基于渗透率张量的各向异性油藏两相渗流数值模拟

单 娴,姚 军

(中国石油大学石油工程学院,山东青岛266555)

针对油藏中存在的渗透率各向异性问题,建立全渗透率张量的油水两相渗流数学模型,利用有限元方法在空间域上进行离散,采用隐式差分格式在时间域上离散,得到地层中不同位置处的压力和含水饱和度变化规律。结果表明:各向异性油藏中的注水前缘与各向同性油藏有明显不同,主要沿渗透率主值较大的方向推进;渗透率主值较大方向与注采井连线夹角较小,注入水推进较快,生产井见水较早;注入水前缘的前进方向和速度受各向异性地带渗透率主轴方向和渗透率主值的影响,各区域内注入水沿渗透率主值较大的方向驱替速度较快。

油藏;数值模拟;各向异性;非均质;渗透率张量;有限元;油水两相

油藏的非均质性和各向异性是影响油水流动方向的主要因素,考察各向异性介质中油水的渗流规律,对预测油藏中压力分布和剩余油分布、改进油藏开发措施具有重要意义。对于各向异性油藏进行解析求解通常利用空间坐标变换转化为等价的各向同性渗流[1],这种空间变换使得油藏外边界形状、内井筒方位及井筒结构等渗流边界也随之发生变化,流体流动从均匀、对称、规则、单一边界的渗流流动变为相对于注采井位和油藏边界呈非均匀、非对称的复杂形态的渗流流动,各向异性油藏渗流的核心问题变成对各种复杂边界的处理,增加了求解难度,而且油藏中每一点处的渗透率主方向和主值都不一样,不可能将整个非均质油藏变换成各向同性油藏。在非均质各向异性油藏数值模拟模型中[2],通常假设油藏内各区域的渗流速度方向和位势梯度方向相同,即渗透率主方向与坐标轴方向一致,当二者方向不一致时即会产生误差。事实上,在通过油藏描述和地质建模得到的地质模型中,即使精细网格上的渗透率为各向同性,粗化后的网格渗透率一般也会具有完全各向异性的特点[4-9]。笔者从全渗透率张量出发,建立非均质各向异性油藏中油水两相渗流的数学模型,采用有限元方法进行求解,并分析各向异性和非均质性对地层内油水流动方向和规律的影响。

1 数学模型

1.1 假设条件

(1)各向异性油藏中岩石和流体均微可压缩,且压缩系数为常数。

(2)流体在油藏中的运动符合广义达西定律,忽略重力影响。

(3)由于油藏渗透率呈各向异性,油藏区域的每一点O(x,y,z)处存在对应的渗透率张量k(x,y,z),用全张量形式表示为

其中,k(x,y,z)为对称矩阵,即

1.2 数学模型

设三维油藏中l相流体的渗流速度为vl=(vlx,vly,vlz),压力梯度,则流体运动的广义达西方程为

连续性方程为

其中,l=w,o,分别代表水相和油相;pl为l相的压力,MPa;ρl为l相的流体密度,kg/m3;μl为l相的黏度,mPa·s;φ为岩石孔隙度;k为绝对渗透率,μm2;Kro和Krw分别为油相和水相的相对渗透率;ql为源汇项;S为饱和度。

油藏中油水两相的扩散方程为

其中,pc为毛细管压力,MPa;Cto和Ctw为压缩系数,MPa-1。

对应控制方程的定解条件为初始条件:

边界条件:

式(2)～(9)组成考虑全张量的各向异性油藏中油水两相不稳定渗流数学模型。

2 有限元求解

将式(4)和式(5)进行合并可以得到变形后的压力方程:

其中

显然,λtij=λtji,i,j=x,y,z。

设油相压力增量为δpo,令控制方程的加权余量为0,得到积分方程为

将求解区域Ω进行网格剖分,离散成M个单元体。在每个单元内部,采用Garlerkin方法定义单元e上油相压力的试探解,即

式中,ne为单元e中的节点数目;(t)为单元e中对应节点i的油相压力;Ni(x,y,z)为单元e中对应节点i的插值函数,i=1,2,…,ne;N=[N1(x,y,z),N2(x,y,z),…,Nne(x,y,z)]为单元e的插值函数行阵;为单元e的油相压力列阵。在每个单元内,用(x,y,z,t)代替式(10)中的po(x,y,z,t),并进行分部积分,考虑自然边界条件,可以得到单元e中的压力方程为

其中

对所有的单元求和,即可得到整个渗流区域的代数方程

压力时间导数用隐式差分代替,即

整理得到整个系统的有限元方程为

求解方程组即可得到各个时刻各节点的油相压力。

在求出压力后,利用式(4),结合显式饱和度求解方法,得到地层中的含油饱和度和含水饱和度,即

3 结果分析

3.1 均质各向异性油藏中油水两相渗流

100 m×100 m的均质封闭油藏中,1口注水井的注水量为20 m3/d,1口生产井的产液量为20 m3/d。地层孔隙度为0.2,油和水黏度分别为5,0.5 mPa·s。在直角坐标系ox′y′中,渗透率主方向与坐标轴方向一致,其渗透率主值分别为kx′=0.5μm2,ky′=0.05μm2,生产井位于油藏右上角,注水井位于油藏左下角。

图1 各向异性油藏坐标转换关系图Fig.1 Schematic diagram of coordinate transformation for an isotropic reservoirs

通过对坐标系ox′y′绕原点进行旋转,得到坐标系oxy中的渗透率张量[5]为

其中,θ为顺时针旋转角。

图2为各油藏生产100 d后含水饱和度分布。从图中可以看出:对于各向同性油藏,注水前缘呈对称弧形由注水井向采油井均匀推进;当存在各向异性时,受各向异性强度的影响,注水前缘发生变化,主要沿较高的渗透率主方向推进。

图2 各向同性油藏和各向异性油藏含水饱和度分布Fig.2 Water saturation distribution of isotropic and an isotropic reservoirs

图3 不同各向异性角度的油藏含水饱和度分布Fig.3 Water saturation distribution in an isotropic reservoirs with different permeability distribution

图4中给出了各油藏含水率随时间的变化规律。当较大渗透率主值方向与注采井间连线夹角较小,且与注采井方向一致时,注入水沿该方向迅速窜入采油井,导致见水时间较早,含水率也较高。图5中比较了各油藏的注水采收率。从图中可以看出,油藏的各向异性对注水开发的采收率具有重要影响。未见水之前,各油藏的采收率是一致的,但当油井见水以后,旋转角为π/4的油藏中由于注入水沿渗透率主值较大方向迅速窜进而导致其采收率降低,而旋转角为-π/6的油藏中,由于沿较大渗透率主值方向水线被拉长而使得水驱效率得以提高。

3.2 非均质各向异性油藏中油水两相渗流

100 m×100 m的非均质封闭油藏中包含4个非均质区域A～D(图6)。其中,各非均质区域内箭头方向代表在ox′y′坐标系下各个区域的渗透率主方向。区域A中,kx=0.01μm2,ky=0.01μm2,渗透率主值方向与坐标系oxy坐标轴方向一致。区域B～D中,kx′=0.5μm2,ky′=0.05μm2,渗透率主值方向与坐标系oxy坐标轴方向角度分别为π/4、-π/4和π/4。

图6 非均质油藏及非均质区渗透率分布Fig.6 Heterogeneous reservoir and permeability distribution

由式(11),区域A～D在oxy坐标下渗透率张量分别为

图7为不同时间非均质油藏中含水饱和度的分布。生产初期,注入水沿距离注水井最近的各向异性地带C窜进,其两侧的高含水饱和度使得周围区域的原油被替出,同时含油饱和度也明显降低。随着生产的进行,注入水到达区域B和D后,沿较大的渗透率主方向窜进,逐步驱替出其余油藏区域的原油。

图7 非均质油藏中含水饱和度分布Fig.7 Water saturation distribution in heterogeneous reservoir

4 结 论

(1)各向异性的存在会改变水驱油藏中注水前缘的前进方向及速度,从而影响整个油藏的开发。均质各向异性油藏中,注入水主要沿渗透率主值较大方向推进;当渗透率主值方向与注采井间连线夹角较小时,油井见水时间较早,含水率也较高。非均质各向异性油藏中,各各向异性地带渗透率主轴方向和渗透率主值不同,注入水前缘的前进方向和速度也不同。在各区域内,注入水主要从渗透率主值较大的方向窜进,逐步驱替出周围区域的原油。

(2)在实际求解过程中,若油藏可近似为局部均质,则可以将整个油藏区域划分成若干个均质子区域,每一个子区域具有各向异性特点,分别建立各个子区域中的渗流模型,再将各子域方程联立求解,进而得到全区域渗流问题的解。

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(编辑 刘为清)

Numerical simulation for two-phase flow in heterogeneous reservoirs based on full permeability tensor

SHAN Xian,YAO Jun

(College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum,Qingdao266555,China)

Considering the anisotropic permeability distribution with different principal directions in reservoirs,the mathematical model for oil-water flow in a heterogeneous reservoir with full permeability tensor was established.The equations were discretized by using Galerkin finite element method in space domain and by using backward difference method in time domain.Finally,the formation pressure at different locations and changes rules of water saturation were given.The results show that the waterfront of the anisotropic reservoir is obviously different from that of the isotropic reservoir.The waterfront direction is along the principal direction of the larger permeability.The smaller the angle of the lager per meability principal direction and the line between the injection well and the production well,the earlier the production well meets water.The direction and velocity of the waterfront in the heterogeneous reservoirs can be obviously affected by the principal axis direction and the principal value of the per meability.In each anisotropic region,oil is driven by water faster along the larger permeability principal direction.

reservior;numerical simulation;anisotropy;heterogeneity;permeability tensor;finite element method;oil-water two phase

TE 353

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.02.018

2010-11-20

国家重大科技专项课题(2008ZX05014-005-03);国家“863”计划项目(2006CB202400)

单娴(1983-),女(汉族),河南邓州人,博士研究生,研究方向为油气藏渗流理论与方法。

1673-5005(2011)02-0101-06