从Fermat大定理看数学问题在数学发展中的作用

刘幸东

（肇庆学院 数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061）

从Fermat大定理看数学问题在数学发展中的作用

刘幸东

（肇庆学院 数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061）

回顾费马大定理的解决过程,从一个侧面论述了数学问题对数学发展的推动作用．

Fermat大定理；数学问题；数学发展

1994年10月25日，美国俄亥俄州州立大学的卢宾（Karl．Rubin）教授用电子邮件向世界宣布：安德鲁．维尔斯（Andrew Wiles）完成了对费马大定理的证明．1995年5月，《数学年刊》用整整1期发表了维尔斯的论文．至此，费马大定理最终成为一个真正的定理，一个困扰人间智者300多年的著名问题被完全解决了．这项成果被认为是20世纪最伟大的科学成就之一．1996年3月，维尔斯荣获了沃尔夫奖，1998年获得特别菲尔兹奖[1]46．

费马大定理是一个有关不定方程的问题．1621年，古希腊数学家丢番图所著《算术》一书被从希腊文译成拉丁文在法国出版．1637年，法国数学家费马对该书中的数论问题进行了研究和推广，对于该书第Ⅱ卷中的第8命题“将1个平方数分为2个平方数”，他想到了更一般的问题．他在该书页边处用拉丁文写了一句话，大意如下：

“将1个立方数分为2个立方数的和，1个4次幂分为2个4次幂的和，或者一般地将1个高于2次的幂分为2个同次幂的和，这是不可能的．关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下了．”

若用现代数学语言进行描述，可以将其叙述如下：

当整数n＞2时，方程

xn＋yn＝zn

没有正整数解．

这就是著名的费马大定理．该问题从提出到1994年被维尔斯解决，整整历时358年．一代又一代数学家和数学爱好者为此付出过艰辛的努力，文献[2]叙述了历代数学家前赴后继寻求费马大定理的证明历程．伴随着征服费马大定理的艰辛过程，同时产生了数学的新思想、新分支，这些分支在很大程度上影响了现代数学的发展方向．费马大定理的解决之路，充分显示了数学问题在数学发展中的作用．下面通过对解决费马大定理中一些重大阶段的回顾，从一个侧面论述数学问题对数学发展的推动作用．

1 无穷递降法

尽管费马在那本《算术》书中从未写过费马大定理的证明，但在书中别的地方隐蔽地描述了对特殊情况n＝4的证明，并且在一个完全不同的问题的证明中采用了这个证明．这是一种特殊形式的反证法，称之为无穷递降法．

为了证明方程x4＋y4＝z4没有正整数解，费马从假设存在一个正整数解

x＝X1,y＝Y1,z＝Z1

着手．通过研究X1,Y1,Z1的性质，费马能够证明：如果这个假定解确实存在，那么一定会存在一个更小的解X2,Y2,Z2(Z2＜Z1);然后再通过研究这个新解的性质，又能证明存在一个还要小的解X3,Y3,Z3(Z3＜Z2),这样一直进行下去．于是费马找到了一列逐步递减的解，理论上它们将永远继续下去，产生越来越小的解，然而，x,y和z必须是正整数，因此这个永无止境的正整数解是不可能存在的，因为必定会有一个最小的可能解存在．这个矛盾证明了最初的关于存在一个解X1,Y1,Z1的假设一定是错误的．使用无穷递降法，费马证明了n＝4时这个方程无xyz≠0的整数解．

费马的无穷递降法的证明思想实际上是反证法的证明方法和最小数原理的完美结合,因此现代数论利用费马递降法证明一个丢番图方程没有正整数解时，通常假设该方程存在正整数解，则由最小数原理可以假设Z0是某个变元Z的所有正整数解的集合中的最小值；再利用解的性质及数学推理方法证明可以找到该丢番图方程的另一组正整数解，其中Z的值Z1＜Z0，与Z0的最小值的假设矛盾，从而证明了该丢番图方程无正整数解．

随后的100多年间，数学家们尝试用费马的无穷递降法研究除n＝4之外的情形，但均以失败告终．

1753年，莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)引入虚数，成功运用无穷递降法证明了n＝3的情况，这是费马去世1个世纪后对费马大定理研究的突破性进展．

由于证明了n＝4无正整数解，所以也就证明了n被4整除，即n＝4k（k为正整数）时，方程xn＋yn＝zn无正整数解．因为若x4k＋y4k＝z4k有正整数解x1,y1,z1，则x4＋y4＝z4将有正整数解x1k,y1k,z1k,这与前面的结论矛盾．利用同样的原理，欧拉对n＝3的证明，自动地证明了n＝3k(k为正整数)的情形．特别有意义的是3为素数，这使得数学家们看到，只要其他素数情形费马定理成立，那么对n的一切值就证明了费马大定理成立．可惜素数的无穷性使早期证明费马大定理的希望破灭．

2 热尔曼素数

自1753年欧拉对费马大定理的研究取得突破性进展后，数学家们徒劳地试图一一证明其他情况．事隔75年，法国女数学家索菲·热尔曼(Marie-Sophie Germain)采用了一种新的策略：并不去证明一种特殊的情形，而是一次就得出适合许多情形的解答，她的方法是针对使（2p＋1）也是素数的素数P（称为热尔曼素数）进行．热尔曼的素数P包括了5，因为11×(2×5＋1)也是素数；但不包括13，因为27×(2×13＋1)不是素数．她巧妙而大致地证明了热尔曼素数方程xn＋yn＝zn不存在正整数解．

1825年，狄利克雷(Dirichlet)和勒让德(Legendre)的工作使热尔曼的方法获得完满成功，他们独立地证明了n＝5不存在解．14年后，加里布尔·拉梅对热尔曼的方法做了进一步巧妙的补充，证明了n＝7的情形．

3 理想数的建立，分圆域理论的研究及代数数论的创立

此后直到1857年，法国数学家拉梅(Lamé)和柯西(Cauchy)都试图利用分圆整数理论证明费马大定理，但可惜的是分圆整数唯一因子分解定理不成立．德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）为使唯一因子分解定理成立，从1844年开始了一系列研究．对每个奇素数p，他将费马方程分解成

正是由于库默尔等人的研究，1871年以后戴德金(Dedekind)推广了高斯的复整数和库默尔的代数数理论，由此创立了现代代数数理论．过去代数数论本来是研究费马大定理解的一种方案；而现在，其自身却变成了一门新兴学科．其创立被认为是19世纪代数学学科的最大成就．

随着对费马大定理研究的深入，数学家们清楚地认识到：只要证明了谷山一志村猜想（即每个椭圆方程必定是模形式），那么就隐含费马方程无解，于是就可立即证得费马大定理．

英国数学家安德鲁·维尔斯奋斗了7年，终于以《模形式、椭圆曲线和伽罗毕表示》、《模曲线和费马大定理》和《海克代数的环论性质》等一系列成果，证明了谷山一志村猜想及费马大定理．至此，一个困扰了人间智者358年的谜终于被解开．

在费马大定理的攻克历程中产生了许多新思想、新方法与新分支．这充分证明了数学问题对数学发展具有积极的推动作用．正如希尔伯特（Hilbert）[1]401900年在世界数学家大会上所言：“对费马大定理的研究提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊、似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响．受费马问题的启发，库默尔引进了理想数，并发现了把分圆域的理想数分解为理想质数的唯一分解定理，这个定理今天已被戴德金(Dedekind)和克罗内克（Kronecker）推广到任一代数数域，在近代数论中占有中心地位，其意义已远远超出数论的范围而深入到代数和函数论的领域．”

数学上还有许多数学问题与数学猜想，随着这些问题、猜想的解决，势必会推动数学更进一步向前发展．

[1] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].3版.北京:高等教育出版社,2005.

[2]西蒙·辛格.费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜[M].上海:上海译文出版社,2005.

The Role of Mathematic Problems in the Development of Mathematics from the Solution of the Fermat’s Last Theorem

LIU Xingdong

(School of Mathematics and Information Sciences,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

From reviewing the solution of Fermat's last theorem,how the mathematical problems promote the improvement of mathematical from the other side is mainly discussed.

Fermat’s last theorem;math problems;math development

G655

A

1009－8445（2011）02－0015－03

（责任编辑：陈 静）

2011－02－14

广东省高等教育教学改革工程项目（BKYBJG20060278）

刘幸东(1960－),女,河北邢台人,肇庆学院数学与信息科学学院副教授．