一类双调和映照的单叶半径估计

夏小青,黄心中

(华侨大学数学科学学院,福建泉州 362021)

一类双调和映照的单叶半径估计

夏小青,黄心中

(华侨大学数学科学学院,福建泉州 362021)

,即L是一个线性复算子.利用单位圆上有界调和函数的系数估计不等式,对双调和映照L(F)的单叶半径进行估计,所得到的结果优于Chen和Ponnusamy等的结果.

Landau定理;双调和映照;线性复算子;单叶半径

1 预备知识

单连通区域D上的双调和映照F=r2G+K.其中:G,K均为D上的调和映照[1].D上的调和映照G,K又可表示为:G=g1+,K=k1+.其中:g1,g2,k1,k2都是D上的解析函数[2].若单位圆D={z||z|<1}上的双调和映照F,可表示为F=r2G+K满足F(0)=K(0)=0,JK(0)=1,且|G(z)|

定理A 假设F=r2G+K是单位圆D={z||z|<1}上的双调和映照,且满足F(0)=K(0)=0, JK(0)=1.其中:G,K都是D上的有界调和映照.|G(z)|

定理B 假设F=r2G是单位圆D={z||z|<1}上的双调和映照,且满足G(0)=0,JG(0)=1.其中:G是D上的有界调和映照,|G(z)|

的解.其中:m1同定理A,L(F)(Dρ2)包含一个单叶圆DR,有

继续对以上两个定理的单叶半径问题进行研究,进一步估计L(F)的单叶半径,改进了文献[4]相应的结果.

单位圆D={z||z|<1}上的复值函数f的Jacobian记为Jf,即Jf=|fz|2-|fˉz|2.记λf=||fz|-|fˉz||,Λ=|fz|+|fˉz|.若f是调和映照,Lew y[5]指出,它是局部单叶的当且仅当Jf(z)≠0,z∈D.

引理B[8]假设f(z)=h(z)+是单位圆D上的调和映照,h,g是D上的解析函数,具有幂级.如果Jf(0)=1,|f(z)|

2 主要结果及证明

定理1 假设F=r2G+K是单位圆D={z||z|<1}上的双调和映照,且满足F(0)=K(0)=0, JK(0)=1.其中:G,K都是D上的有界调和映照,且|G(z)|

的解,且L(F)(Dρ3)包含一个单叶圆DR,有

下面证明H(z)的单叶性问题.

固定0<ρ<1,要证明H在Dρ上的单叶性,任取Dρ上的两点z1,z2,用γ表示线段[z1,z2],则有

从证明的过程中可看出,定理1中的ρ3一定比定理A中的ρ1大,从而定理1的结论比定理A的结论好.相应于定理B,有如下定理.

定理2 假设F=r2G是单位圆D={z||z|<1}上的双调和映照,且满足G(0)=0,JG(0)=1.其中:G是D上的有界调和映照,|G(z)|

的解,且包含一个单叶圆有

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(责任编辑:陈志贤英文审校:张金顺,黄心中)

On the Estimates of Univalen t Radius for Certain Biharmonic Mappings

XIA Xiao-qing,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

landau theorem;biharmonic mapping;linear complex operator;univalent radius

O 174.5

A

1000-5013(2011)02-0218-05

2009-10-11

黄心中(1957-),男,教授,主要从事函数论的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

福建省自然科学基金项目(2008J0195)