阈值去噪改进算法及其仿真分析

段永刚 马立元 李永军 王天辉

(军械工程学院导弹工程系，河北 石家庄 050003)

0 引言

对信号进行去噪并提取出原始信号一直是阈值去噪过程中一个重要的课题。目前，信号去噪的方法很多，如卡尔曼 (Kalman)滤波法、维纳 (Wiener)滤波法和减谱法等[1－2]。小波分析是近年来发展起来的一种性能优良的数学工具，它通过小波变换，把信号的特性分配到各个不同尺度的小波变换系数上，再对小波变换系数进行分析与处理，从而降低噪声。

小波变换具有很强的去数据相关性，它能够在小波域使信号的能量集中在一些大的小波系数中，而噪声能量却分布于整个小波域内。经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的小波系数幅值。因此，选择一个合适的阈值对小波系数进行阈值处理，就可以保留信号系数，并使大部分的噪声系数减小至零，从而达到去噪的目的。

1 小波阈值去噪原理

1994年，Donoho和Johnstone在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的概念[3－5]。根据对变换系数进行阈值处理的方法来划分，Dohono提出的阈值去噪方法又可以分为硬阈值法和软阈值法。

软阈值处理的数学公式可以表示为：硬阈值处理的数学公式可以表示为：

式中：λ为阈值;djk为小波系数;为处理后的小波系数。

通过比较以上两种方法可以发现，软阈值方法通常会使去噪后的信号更平滑一些，但是它也会丢掉某些特征;而硬阈值可以保留信号的特征，但是在平滑方面有所欠缺[6]。针对以上问题，文献[6]对阈值函数进行了改进，提出了软硬阈值折衷法和模平方处理法这两种新的阈值函数。

①软硬阈值折衷法

软硬阈值折衷法可定义为：

软硬阈值折衷法在阈值估计器中加入α因子，α因子的取值范围为0～1。通过调整α的大小，可以获得较好的去噪效果。

②模平方处理法

模平方处理方法可定义为：

阈值函数曲线如图1所示。

图1 阈值函数曲线Fig.1 Curves of threshold function

2 高次逼近法

软硬阈值折衷法和模平方处理法的优点是去噪效果更好，但是适用性有限。为了使阈值函数更加灵活，适用性更广泛，本文提出了一种新的阈值方法，即高次逼近法。

为了克服硬阈值处理方法在λ点处不连续的缺点，本文构造了一个函数，使得估算出来的小波系数在λ点处连续，且|djk|→∞时，

该函数的数学表达式为：

由式(5)可以看出，当n→∞时，该方法接近于硬阈值法;当n=1时，该方法等同于软阈值法。n越小，函数的曲线越平滑。因此，对于突变比较明显的信号进行去噪，n的取值应该大一点;对于本身比较平滑的信号进行去噪，n的取值应该小一点。高次逼近法的曲线如图2所示。

图2 高次逼近法曲线Fig.2 Curves of the high order approximation method

3 仿真算例

为了说明高次逼近法的有效性和实用性，本文选取了含有噪声的 Bumps信号和 Heavysine 信号[7－8]，并分别用高次逼近法与文献[6]提出的软硬阈值折衷法和模平方处理法对这两种信号进行去噪对比。三种方法去噪后的信噪比比较如表1所示。

表1 各阈值法的信噪比比较Tab.1 Comparison of SNR with different threshold method dB

由表1可以看出，对于Bumps信号的去噪效果，高斯逼近法效果较好。对于Heavysine信号的去噪效果，三种方法都能保留信号的突变信息，但是高斯逼近法时域去噪效果要好于软硬阈值折衷法和模平方处理法，信噪比相对较高。综合比较可以看出，高斯逼近法对于平滑信号和突变信号都有较好的去噪效果。

4 结束语

Donoho和Johnstone提出的软硬阈值去噪方法在连续性和平滑性方面不能达到统一，为了克服这种缺点，本文构造了一种新的阈值函数，即高次逼近法。该方法的应用更加灵活，适用性更加广泛，对与平滑信号和突变信号都有较好的去噪效果。本文通过仿真试验将该方法与文献[6]提出的两种方法的去噪效果进行了比较，结果表明，新阈值函数的去噪效果比较理想，信噪比相对较高。

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