信息技术环境下的数学建模教学

张莉(鞍山市第五中学，辽宁鞍山114000)

信息技术环境下的数学建模教学

张莉(鞍山市第五中学，辽宁鞍山114000)

新课程强调数学的应用性，提倡通过数学建模等实践活动培养和发展学生的数学应用意识。文章在研究数学建模活动的教学理论基础上，结合高中数学建模案例，探索了如何利用现代信息技术开展高中数学建模教学活动的问题，并提出了一些数学建模教学中值得思考的问题。

数学教学；数学建模；信息技术

《普通高中数学课程标准》提出：“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”数学建模作为新课程标准所提倡的教学活动，正随着新课程的实施，逐步走进课堂，特别是随着现代信息技术的发展，多媒体及网络技术给数学建模活动的开展提供了强有力的现代工具。

一、数学建模的过程与数学建模的教学理论基础

1.数学建模的过程

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。作为数学学习的一种新的方式，它更突出表现了对现实情境的简化、假设、抽象的数学加工过程，对数学方法、计算工具、模型的选择和分析过程，以及对模型的求解、检验、推广应用，再修改、深化、扩展，再求解的迭代过程。数学建模的基本过程如图1所示。

图1 数学建模的基本过程

2.数学建模的教学理论基础

（1）杜威的实用主义教育思想

伟大的心理学家杜威主张“从做中学”，反对传统教育的“书本中心”主义。他认为教学应有以下五个阶段：①学习者要有一种“经验的真实情境”；②在这种“情境”里面，要有促使学习者去思考的“真实的问题”；③学习者必须具有相当的知识，从事必要的观察以对付这种问题；④学习者必须具有解决这种问题的种种设想；⑤学习者把设想的办法付诸实施，检验这种方法的可靠性。杜威的这一理论实质上就是处于萌芽阶段的数学建模思想，他所谓的教学五阶段其实就是一个现实问题情境化、提出问题、选择合适的数学方法、提出假设和检验的数学建模过程。

（2）弗莱登塔尔的“数学化”思想

弗莱登塔尔(H.Freudenthal)曾说过：“与其说学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理体系，还不如说是学习公理化；与其说是学习形式体系，还不如说是形式化。”[1]他特别指出，数学本身同样属于现实世界，因而在数学发展过程中，我们必然要面对数学自身的数学化。所谓数学化，是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析和研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律的过程，这正体现了数学建模的过程。

（3）情境认知理论

情境认知理论关注物理的和社会的场景与个体的交互作用，认为知识具有情境性，知识是在活动中通过活动产生的。学习的实质是个体参与实践，与他人、环境等相互作用的过程，是形成参与实践活动的能力、提高社会化水平的过程。[2]数学课堂上，教师经常创设情境，引导学生了解知识产生的背景及其应用价值。而数学建模是学生以现实生活中的问题为起点，经历建立模型、求解模型、分析模型的阶段，体验合作交流、探索发现的乐趣，最终用得出的结论指导实践的过程，是从情境出发，发现问题、解决问题的实践活动。

杜威的实用主义教育思想、弗莱登塔尔的“数学化”思想以及情境认知理论映照了数学建模思想的起源，虽然，它们没有全面深化数学建模的过程，但仍为新课程标准下的“数学建模”教学奠定了一定的理论基础。

二、新课程理念下高中数学建模教学的探究

数学建模是改善学生学习方式的突破口，是体现数学解决问题和数学思维过程的最好载体。[3]它为学生的个性发展和创造力的发展提供了极好的场景，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。数学教学中要适时渗透数学建模思想，高中阶段应尽可能多地开展数学建模教学。下面以人教B版高中数学教材必修1《函数的应用（II）》一节中的函数模型为例，探索如何运用信息技术开展数学建模教学活动。

1.建模准备

（1）创设问题情境

在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，可以是现实生活中的问题，也可以将一个数学问题还原为一个与现实生活相关或以现实生活中的某种现象为原型的问题。例如：人教B版高中数学教材必修1《函数的应用（II）》一节中，有这样一个例子(P121)：我国农业科学家研究表明玉米的生长阶段与植株高度具有一定的函数关系。表1给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据，其中x代表生长阶段，f(x)代表植株高度。

表1

①做出函数图像，近似地写出一个函数关系式，表达两个变量之间的关系；

②利用得出的关系式列表；

③与表中实际数据比较，说出关系式给出的一些信息。

（2）相关知识链接

教师活动：①运用PowerPoint呈现玉米生长过程的图片；②明确研究的内容、估测的依据和方法。

学生活动：通过观察图片，认识到目前要把实际问题转化为数学问题。①可以由“生长阶段”随“植株高度”变化的趋势，回忆起存储于认知结构中的熟悉的函数图像(比如一次函数、二次函数、指数函数和对数函数)；②由“生长阶段”和“植株高度”的“数对”想到，利用“几何画版”软件绘制出植株高度关于生长阶段的函数图像，将数对间的关系用图像真实地刻画出来。

2.建立模型

（1）现实问题数学化

在此过程中，学生通过观察生长阶段与植株高度的数据，相互交流，抽象出问题的本质，即植株高度与生长阶段之间存在着某种确定的关系：植株高度随生长阶段的增加而增大。随后，学生根据问题的内部关系，猜测可选择的模型。

图2

（2）建模工具现代化

①关系图式化

教师运用“几何画板”软件画散点图，在平面直角坐标系中绘制出植株高度随生长阶段变化的图像。通过观察散点的分布特点和函数的图像，学生能够发现函数的图形近似于“S”形。接下来，教师可以用鼠标拖动单位点，放大或缩小单位，让学生清晰地观察图像随着生长阶段逐渐延长、植株高度的变化趋势。（见图2）

②模型对比化

教师让学生仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图像，猜测此图像与学过的哪种函数图像有相似的趋势。并针对学生提出的不同的模型，引导他们自己比较不同模型的可行性、适用性、效率。最终选择能够近似表征生长阶段与植株高度间关系的函数模型——二次函数模型和指数函数模型。

③建立函数模型

根据图像对比分析，选取以下两种函数模型。

模型1：指数函数模型f1(x)=aebx；

模型2：二次函数模型f2(x)=ax2+bx+c(a>0，x>0)。

3.求解模型

工具的使用、算法的优化在求解模型过程中特别重要。因此，教师应力争为学生创设分工合作、交流讨论、积极探索的环境。在此环境下，教师鼓励学生利用计算机软件(比如Mathlab、Mathematica、Lindo、Maple、Spss等计算、作图、编程功能比较好的软件)，分组求解这两种函数模型。并且通过小组间的比较分析，得到如下的求解方法与结果：

将原始数据点分别代入模型函数，分别求解模型函数。

（1）将点(2，0.85)和(23，112.73)代入指数函数关系式，解方程组得到：a=0.534，b=0.233，因此求得指数函数模型为f1(x)=0.534e0.233x；

（2）将点(1，0.67)、(3，1.28)、(22，97.46)代入二次函数关系式，可以求得二次函数模型为f2(x)=0.225x2+0.595x+1.04。

4.分析模型

（1）模型的检验

在得到两种模型函数的表达式后，针对学生们提出的“得到的两个函数模型能否较好地模拟给定的数据呢”这样的疑问，教师可以引导学生带入数据验证、画函数模拟的图像，观察图像与数据的拟合程度，并将学生分成小组，让他们分别运用带入数据验证法和图像拟合法来检验得到的两个模型函数，进行模型检验活动。

学生可以利用“几何画板”绘制出拟合函数的图像(见图3、图4)，将得到的指数函数模型的图像以及二次函数模型的图像与原图像进行比较，得出与原图像较相近的函数模型。对于以上两个模型函数，学生在拟合函数基础上，用Excel表格展现出植株高度的函数值与给定值的误差表(见表2、表3)。

图3 指数函数模型的拟合

图4 二次函数模型的拟合

表2 指数函数模型误差分析

表3 二次函数模型误差分析

通过运用这两种方法进行函数模型的检验，学生会发现：指数函数较二次函数拟合得好。从表3中我们可以清楚地看出，第1到第6个生长阶段与实际得到的数据相差很小，与后面除第23个生长阶段外的其他生长阶段数据相差较大。这一指数函数模型在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据稳定于某一数值附近的情况不太相符。那么教师在教学过程中就应该说明：用数学建模去解决现实问题，往往不是一次就能得到符合实际的结果的。理论的最优化不一定都能达到。我们应该考虑到所学知识的有限性、人的认识以及环境条件的限制等。

（2）现实意义的解释

对于上述两个模型，我们既要考虑到拟合函数图像逼近和误差值最小，还要考虑到农作物生长的实际情况，如生长的趋势、受约束的因素和可能性等。为了全面地考虑影响作物的生长因素，学生可以通过网上查询以获得相关资料。

（3）对模型的反思

经过筛选，我们可看出指数函数模型较二次函数模型符合此现实模型，但还不是最佳模型，如何得到最佳模型函数，还需要更加广阔、精深的数学思想、知识和方法。

（4）模型的再求解

如果学生学过的函数模型不能很好地刻画问题的实际情况，那么教师需要启发引导学生再尝试用新的、不曾运用的模型去解决这类问题。对于本题，教师需要在课堂上指出：要得到更好的关系式，我们需要更多的数学知识。接着可以给学生提供一些类似玉米株高生长的“S”形曲线的生物种群的增长信息，比如SARS（非典型肺炎）病的传播，时间与病例的关系，并指出科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数这类模型称为Logistic模型。这样学生受到启发，就会尝试着对玉米生长的这组数据建立Logistic模型，学生在经历了上述数学建模的过程之后，就会主动完成新模型的求解检验分析过程，得到玉米的整个生长过程近似于函数。学生的求解分析过程如下：

①求解模型

表4 玉米生长发育Logistic模型各个生长阶段的近似值

②分析模型

图5 Logistic函数模型的拟合

三、新课程理念下开展高中数学建模教学的几点思考

1.数学建模问题的选取性

数学建模教学成功的先决条件是寻找适合学生参与的“好的问题”。在选择建模问题时，应注意以下几点：①选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢；②问题能够表现出建模的全过程，而不仅仅是问题本身的解决；③问题要有较为宽泛的数学背景，有不同的层次，并注意问题的可扩展性和开放性；④鼓励学生在问题分析解决的过程中使用计算工具和成品工具软件。

2.数学建模工具选择的科学性

数学建模教学在建立模型、求解模型、检验模型的过程中，都离不开信息技术。在教学过程中，教师应该鼓励学生使用计算机，利用Mathematic、几何画板等数学软件，进行计算、猜想、发现、模拟、证明、作图、检验等数学活动，去寻求解决问题的方法，改善学生的学习方式，培养其创新精神和实践能力，使数学建模教学能够顺利进行。

3.数学建模教学形式的多样性

针对学生的不同发展水平，我们可以分层次开展多样的数学应用与建模活动。数学建模教学的形式可以是多种多样的，常见的主要有以下三种：①结合正常的课堂教学，在部分环节上“切入”应用和建模的内容；②以数学应用和数学建模为主题的课外活动；③开设数学建模选修课程。

4.数学建模教学中师生角色的转变性

与传统教学相比，数学建模的教学重过程、重参与，不苛求建模过程的严密、结果的准确。学生应该成为这一过程的主体，在此过程中，他们自主合作，积极交流，动手操作，努力探索发现，养成了勤学好问的习惯和团队精神。而教师则对学生在建模过程中遇到的问题，在可能的范围内提出一些建议，对学生的选题乃至学生建模的思路、研究的方法则不予干涉。因此，教师不再是知识与技能的传授者，而是建模活动的组织者，学生研究工作的建议者、参谋者，学生论文成果的欣赏者。

5.评价学生数学建模的全面性

学生数学建模的评价内容应关注以下几个方面：①创新性：问题的提出和解决的方案有新意；②现实性：问题来源于学生的现实；③真实性：确实是学生本人参与制作的，数据是真实的；④合理性：建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理；⑤有效性：建模的结果有一定的实际意义。

[1]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].上海：华东师范大学出版社，2001：23.

[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.8：49-51.

[3]项莉敏.利用多媒体网络优化数学建模教学[J].中国电化教育，2002，（4）：29.

（编辑：王天鹏）

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G434 文献标识码：A 文章编号：1673-8454（2011）10-0023-05