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将探究“常态化”

2011-08-25415000湖南省常德市芷兰实验学校初中部陈金红

中学数学杂志 2011年18期
关键词:常态化正整数中学数学

415000 湖南省常德市芷兰实验学校初中部 陈金红

将探究“常态化”

415000 湖南省常德市芷兰实验学校初中部 陈金红

探究“常态化”即,把探究看成是数学公式、定理一样的知识和蕴含其中的思想方法,去重视、去实践操练和体验;本文通过两个数学例子来阐述如何把探究“常态化”:

例1 (中学数学解题思想方法技巧(初中第139页例2))若 a,c,d是整数,b是正整数,且满足 a+b=c,b+c=d,c+d=a那么a+b+c+d的最大值是

A.-1 B.-5 C.0 D.1

书刊“绿色通道”:由于b为正整数,其取值范围比a,c,d的都小,因此设法从已知条件中,挖掘出用b的式子表示a,c,d,从而把多个元的问题转化为关于b的问题去求解.……

点评 此解法中既有主元法,也有消元、化归等思想方法,方法相当专业,从而“神秘”化了数学探究的本质、灵魂!

探究“常态化”:笔者以为如下引导可能感受面会更广泛些,由已知“若 a,c,d是整数,b是正整数,”自然感知:a,b,c,d 大小关系、正负如何?

解 由b是正整数及a+b=c⇒c>a,b+c=d⇒d>c;

又 c+d=a⇒d<0⇒b>0>d>c>a,于是由数轴上从左往右依次是数 a,c,d,0,b;

更由“a,c,d 是整数”⇒d≤ -1,c≤ -2(a≤ -3)

为消去b元对“求a+b+c+d最大值”的影响与“尴尬”,于是改写a+b+c+d=2c+d≤-4+(-1),

即 a+b+c+d≤ -5,

故所求最大值为-5;选B.

点评 原解法整体分析虽解题快、简洁有力度,但对比笔者的解法掩盖了太多的细节,内部信息挖掘太少,创新灵感触发的时间太短、空间太小,特别是不利于思维心理的具体障碍分析与机理揭示!

例2 (中学数学解题思想方法技巧(初中第136页例3))解方程:x4+(x-4)4=626

书刊“绿色通道”:设法化为两个二次方程,设x=y+2,则 x-4=y-2,于是原方程可化为(y+2)4+(y-2)4=626,(展开整理再解)……

点评 此解法确实高妙,但为什么设x=y+2,技巧性太强,没受过专业训练的恐怕难以想到,就只能靠“浇灌”了!

探究“常态化”:笔者以为可数字化、具体化是人们特别的习惯、意识和“专利”.626这个数值是否可改写为类似方程左边的两个数值的4次方的和为新的突破点.

但626可改写为1和625的和(人习惯于从最小的正整数1作为思考点!),发现626=1+625=(±1)4+(±5)4,代入验证发现x=-1,x=5正好满足原方程,即得到原方程的两个特殊解x1=-1,x2=5;

还有其他解吗?若有与刚找出的解大小关系如何?从-1,5这两个数去比较(5的右边,5与-1之间,-1的左边),于是又探究如下:

①当x>5时,x4+(x-4)4>54+14>626,此范围内原方程无解;

②当x< -1时,x4+(x-4)4>54+14>626,此范围内原方程也无解;

③当-1<x<5时,好像没上面容易看出,不妨再缩小范围为

(1)当 -1<x≤0时,x4+(x-4)4<626此范围内原方程也无解;

(2)当0<x≤1时,x4+(x-4)4<626此范围内原方程也无解;

(3)当1<x≤2时,x4+(x-4)4<626此范围内原方程也无解;

(4)当2<x≤3时,x4+(x-4)4<626此范围内原方程也无解;

(5)当3<x≤4时,x4+(x-4)4<626此范围内原方程也无解;

(6)当4<x<5时,x4+(x-4)4<626此范围内原方程也无解;

综合知,x1=-1,x2=5原方程仅有的两个解!

点评 此探究解法让人感觉高次方程幷不是高不可攀的,同时也促使解题者思考是否可以简捷解法?(见文[2])如此一来,“常态化”的探究让学习者更有信心去投入到更多的实践活动中去发现、体会与创造!把探究上升到一个更高的科学境界.

1 马小为.中学数学解题思想方法技巧(初中).陕西师大出版社,2006,11

2 陈金红.挖掘特殊性妙解竞赛题.中学生数学(初中),2002,7

20110710)

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