替代定理在含受控源电路中的应用

周 蕾

(东华大学 信息学院电工电子中心,上海 200051)

0 引言

替代定理是电路分析中应用范围非常广泛的定理,它不仅适用于线性电路也适用于非线性电路,常被用来进行电路的化简,使电路易于分析和计算,也常被用来进行其它的一些定理的证明和推导。

“电路分析”课程教材中在提到替代定理的应用时,一般都有这样的说明:关于含有受控电源的控制量的支路或网络由于替代后的控制量不复存在,所以不可以被替代。关于这个问题存在一些不同的看法。主要围绕在含有受控电源的控制量的支路能否应用替代定理,即能否用电压源或电流源来替代该支路？是否有必要对替代定理进行补充或修正？对这些问题之前都有过一些讨论。可见参考文献[1-3]。

文献[1]提出了新替代定理,认为如被替代支路电流IC是其它受控源的控制量,且该支路的电流和电压为IC和U,则该支路可用独立电流源IS=IC或受控电压源US=RIC替代,其中R为该支路的电阻,此时该支路不能用独立电压源替代;如被替代支路电压UC是其它受控源的控制量,且该支路的电流和电压为I和UC,则该支路可用独立电压源US=UC或受控电流源IS=UC/R替代,而该支路不能用独立电流源替代。

文献[2]认为教科书对替代定理的应用条件表述得不够完整,提出“只要在电路改变前后各支路的电压和电流均是唯一的,并且在替代支路中仍保留了其它支路中受控源的控制量,则原电路的全部电压和电流就将满足新电路的全部约束关系,因此也就是后者的唯一解,与k条支路是否为控制量所在支路无关”。

文献[3]则认为教材所描述的替代定理是完整的,无需加任何修正,替代定理能正确应用的唯一条件是替代后电路应有唯一解。笔者认为文献[1]的提法值得商榷,而比较赞同文献[2]和文献[3]的观点。关于替代定理能否应用于含有受控电源的电路的问题其实并不复杂,教材中关于受控电源的控制量所在支路能否被替代的说明完全是出于从受控源概念的完整性来考虑的,原因不在替代定理本身而在受控源。如果电路在替代前后具有唯一解,并且能够在定理应用时注意保持受控源概念的完整性,即保证受控电源及其控制量的存在,那么含有受控源的控制量和受控源的支路照样可以应用替代定理。而保证受控电源的完整性除了文献[2]和文献[3]中提到的保存被替代支路中的控制量外,还可以通过控制量转移的方法来实现。

1 替代定理及控制量的转移

《电路》第五版[4]中替代定理的描述上与之前的版本有所不同,将可以用电压源、电流源替代电路中的某条支路扩大至可以替代一个两端网络。其内容叙述如下:在电路中如已求得NA与NB两个一端口网络连接端口的电压up与电流ip,那么就可以用一个uS=up的电压源或一个iS=ip的电流源来替代其中的一个网络,而使另一个网络的内部电压、电流均维持不变。如图1所示。

图1 替代定理

当NA中存在受控电源,而该受控电源的控制量在网络NB中时,教材指出此时NB被替代后将无法表达这种控制与被控制的关系,这时NB就不可被替代。笔者认为这里说的“NB就不可被替代”,并不是由于替代定理本身的原因,而是从受控电源概念的完整性来考虑的,如果能在NB被电压源或电流源替代后保留受控电源的控制量,替代定理仍然成立。但这样的处理在有些情况下可能NB无法用单独一个电压源或单独一个电流源支路来替代。另一种方法是根据NB的电路连接将原受控电源的控制量转移至NB的端口,用端口电压up或端口电流ip来表示。因为根据NB中电路的连接总是可以找到原控制量和端口电压up或端口电流ip之间的关系的,将控制量转移至端口后,被替代后的电路中受控电源和受控电源的控制量都存在,这时替代定理仍然是成立的。

2 例题分析

在图2所示的电路中,如虚框所示将电路分成NA和NB两个两端网络。

图2 电路实例

按通常的分析方法,可写出电路的节点电压方程为

求解可得 up=16V,u4=12V,i1=ip=22A,i2=6A,i3=16A。

1)用iS=ip=22A的电流源替代NB

NB是一个含有NA中受控电源控制量的两端网络,当用iS==22A 的电流源代替NB后,原NA中的受控电压源的控制量u4将在电路中消失,受控电源失去了控制量,也就无法体现受控源本来想要反映的电路中的控制与被控制的关系,如图3(a)所示。这时替代定理似乎无法应用。实际上这时只要能根据被替代网络内部的电路连接,将控制量转移至替代支路的端口,将其用端口电压或端口电流来描述即可。

图3 用电流源替代NB

由图2所示电路进行分析可得:u4=up-4,3u4=3(up-4)于是可得图3(b)所示电路。

此时,受控源和受控源的控制量均在电路中得到体现,可对电路列写方程:

继而可得:i1=ip=22A,响应不变。

2)用uS=up=16V电压源代替NB

用uS=up=16V电压源代替NB后,出现相同的情况,即受控源的控制量u4消失了。由图2所示电路分析可知,电路中受控电源的控制量u4与替代支路电流ip之间的关系为

故可得图4所示电路,由电路可得

ip-3(2ip-32)+16=2 ip=22A,响应仍然不变。

图4 用电压源替代NB

3 结语

教材中替代定理的描述是完整的,在被替代前后的电路具有唯一解的情况下,同样可用于含有受控电源的电路,即受控电源的控制量所在的二端网络也可被电压源或电流源替代。具体做法是:当被替代的两端网络中含有另一网络中受控电源的控制量时,可以采用在替代后的电路中保留控制量,或采取将控制量转移的方法,将控制量转移至被替代网络的端口,以保证受控电源概念的完整。

[1] 张美玉,袁桂琴.替代定理的研究[J].南京:电气电子教学学报,2000年第4期

[2] 汤放奇,谭志扬.也谈替代定理[J].南京:电气电子教学学报,2001年第4期

[3] 张柏顺,刘泉.再谈替代定理[J].南京:电气电子教学学报,2003年第6期

[4] 邱关源,罗先觉.电路(第五版[M].北京:高等教育出版社2006年5月