无网格法的研究发展及工程应用简述

陈晓珞

0 引言

大量复杂的工程实际问题为计算力学提出了许多迫切需要解决的难题。传统的依赖于网格的有限元法在处理大变形问题时经常由于网格纠缠而导致求解失败，而且局部应力集中等现象的精细分析必须进行网格细化并反复迭代求解。这使得通常的有限元在处理这一类问题时不仅要花费大量的时间，而且求解过程非常繁琐且计算精度较差。基于上述原因，无网格法近几年来引起了国内外学者的广泛关注。无网格法无需计算网格，可以避免大变形分析网格畸变而引起的计算困难，使其在处理移动不连续、大变形、高梯度问题等方面比基于网格的近似方法具有特殊的优越性。

1 无网格法的研究发展历史[1］

对无网格法的研究可以追溯到20世纪70年代初对非规则网格有限差分法的研究，但由于当时有限元法的巨大成功，这类方法没有受到高度重视。1977年，有Lucy和Gingold等分别提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力学(SPH)法。经过Johnson，Swegle等的改进，SPH法的精度有所提高，并且改进了其稳定性。1994年Belytschko在修正了模糊单元法(DEM)的基础上提出了无网格Galerkin法(EFG)。1995年，Liu等根据函数积分变换的思想，基于Galerkin法提出了再生核质点法(RKPM)，随后结合小波的概念，构造了多尺度再生核质点法(MRKPM)和小波质点法。1996年，Liu等又引入了移动最小二乘法的思想提出了移动最小二乘法重构核近似方法(MLSRK)。

1995年，Oden和Duarte等利用最小二乘原理建立单位分解函数，提出了Hp云团法，并进行了严格的数学论证。此后，Liszka等采用配点形式，提出了Hp无网格云团法。Babuska等将单位分解法与有限元法结合，利用单位分解的形函数将局部定义的近似解相连接，构造出总体常函数的近似解，提出了单位分解法(PUM)。Onate等采用最小二乘插值函数，采用配点格式离散微分方程，提出了有限点法(FPM)。Atluri等提出了局部边界积分方程法(LBIE)，并在此基础上，利用移动最小二乘逼近构造局部子域上的权函数和形函数，提出了无网格局部Petrov-Galerkin法(MLPG)。

径向基函数(RBF)具有形式简单、各向同性等优点，也可以用来构造无网格形函数形成基于径向基函数的无网格法。张雄等[3］基于径向基函数构造了配点型无网格法，并从加权残量法出发构造了最小二乘配点型无网格法和加权最小二乘无网格法。

2 三种主要的无网格法

根据所使用的计算模型的不同，无网格法可分为三大类[2］:1)基于配点的无网格法;2)基于弱式(主要是各种Galerkin弱式)的无网格法;3)基于积分弱式和配点结合的无网格法。以下仅就两类讨论三种主要的无网格法。

2.1 光滑质点流体动力学法(SPH法)

在通常的分类中，SPH法被归为基于配点法的无网格法[2］。作为较早提出的一种无网格法，SPH法的主要思想是认为任何一个连续系统可离散为一系列的任意分布的质点，所有有关这一系统的量(物理的或数值的)都认为集中于这些质点上。它的基础理论是插值理论，采用近似方法将偏微分方程转换成积分方程，然后用质点近似方法将连续形式的积分方程转换成离散形式的方程。

SPH法满足CFL条件，但具有张力不稳定的缺点。美国Sandia国家实验室[4］提出了在SPH法中出现的张力不稳定性的解决方案。另外，Dyka等提出了一种解决SPH法张力不稳定性的方法，不仅消除了张力不稳定性，还保证了计算的精确性。Swegle等提出了保守光滑方法来解决SPH法的张力不稳定性问题。

SPH法中对边界条件的处理是一个难点又是容易被忽略的问题。在早期的流体动力学中应用SPH法不需要处理边界条件或仅需作简单的处理，但在广义的边界条件下，则会在边界上出现密度的不连续现象。因此改进广义边界条件下的SPH法，使其具有更好的适应性是很必要的。

2.2 无网格Galerkin法(EFG法)

EFG法是典型的基于积分弱式的无网格法，一般应用Galerkin方法获得离散方程，通过对原控制方程的弱形式实施Galerkin过程，然后应用无网格形状函数进行离散[2］。

EFG法只需节点信息而不需划分单元，其节点可以随机分布，且与积分网格无关。该方法采用移动最小二乘函数近似试函数，这与伽辽金有限元法中常用的插值函数不同。它的基本思想是在变量域上用一些离散点的函数值并采用移动最小二乘法来拟合场函数，从而摆脱了单元的限制。

EFG法解决场问题的一般步骤如下[5］:1)根据具体问题的平衡方程，利用变分原理得到EFG法整体平衡方程，利用最小二乘拟合可以将场函数表示成节点未知量和形函数的关系式，这样场函数对坐标的偏导数就可以表示成形函数对坐标的偏导数，积分式采用高斯积分法计算。2)在整个区域布置节点，并划分积分子域，根据节点疏密确定影响半径。3)在所有高斯点上循环集成整体平衡方程组，并求解。

2.3 再生核质点法(RKPM法)

RKPM法是在SPH法的基础上发展起来的。它是Liu针对SPH法的稳定性的不足，通过对SPH法核函数乘以一项修正函数以满足边界上的相容性条件后，首次提出的[6］。引入了修正函数和具有紧支撑的光滑连续核函数并借鉴小波分析中多尺度分析技术，使得RKPM法完全消除了SPH法中的不稳定性，并且具有了很多优点。

RKPM方法离散方程的获得一般是用Galerkin方法，具体实现过程和普通有限元方法并无区别。Aluru等用配点法来得到RKPM方法的离散方程，配点法的实现过程非常简单，但其稳定性和收敛速度有待于进一步的研究。

和其他无网格方法一样，RKPM法数值实现中的一个难点是本质边界条件的处理。由于RKPM法的形函数并不是插值函数，所以它们并不满足Kronecker delta条件，导致边界上质点处的近似值是区域内部和边界上质点值的线性组合，所以本质边界条件的处理要比有限元法复杂。RKPM法处理本质边界条件的方法主要有:Lagrangian乘子法，约束质点位移消除法，修正的变分原理法，坐标变化法，引入在边界处为零的核函数或修正函数，以及基于达朗伯原理的方法。

和其他无网格方法一样，目前尚没有一种处理RKPM方法本质边界条件非常简单而完美的方法。

3 以上三种无网格法的应用

3.1 SPH 法

这种方法最初在天体物理学领域中用来模拟三维无界空间中天体的演化。如今，SPH法在计算流体力学和计算固体力学也有广泛运用，例如Monaghan将SPH法用于自由面水波的模拟，Edmond和Shao Songdong用SPH法结合大涡模型模拟近岸孤立波的爬升，Libersky将SPH法应用于爆炸问题模拟，Swegle和Attaway使用SPH法进行水下爆炸模拟研究，Liu把SPH法应用于模拟水的冲击减震方面的研究。除了在流体力学中的应用外，SPH法还在人为粘性和热传导中有比较多的应用。

3.2 EFG 法

EFG法的主要用处在于求解边值问题的数值解，如固体力学、计算流体力学、热力学、声学、电磁学等。目前，EFG法在固体力学应用较多[8］，主要有以下几个方面:

1)断裂力学:EFG法对局部高梯度应力分布良好的表现能力和它不需要单元网格的特点，使它很适合用于断裂力学的计算并跟踪裂纹的扩展。

2)岩土工程:岩土工程的复杂性在于其材料的高度非均匀性和离散性，裂隙、节理及成层结构的存在，通常的数值分析工具往往无法很好地反映实际情况。EFG法在这个方面的应用则较好的解决了这类问题。

3)板、壳分析:EFG法本身所具有的、能自然求得高次连续解答的优良性能，使得它很适合用于板、壳结构的分析。

4)新材料的性能分析和模拟:对于不能以弹性模量、泊松比等参数来简单衡量力学性能的新型材料而言，对这些材料性能的模拟就显得相对复杂。利用EFG方法求解，可通过赋予积分网格中积分点不同的材料参数来模拟材料特性的非均匀分布。

此外，EFG法在梁的振动分析、随机力学分析和可靠度分析、地下水流分析、非破坏评价、求解河道水流动力等方面也有广泛的应用。

3.3 RKPM 法

RKPM法作为一种有潜力的无网格方法，逐渐引起人们的关注，越来越多的关于RKPM法的研究也在不断地进行。

Liu和Chen等[9］用RKPM法对结构动力学和声学问题进行了研究。计算了波动方程和梁的横向振动方程，将RKPM法计算结果和解析解进行对比，验证了不同膨胀参数对RKPM法计算结果的影响。RKPM法在大变形分析领域取得的成果很引人注目。Chen等用RKPM方法对金属成型大变形过程进行了模拟。采用基于Lagrangian的再生核函数近似，对金属薄片冲压成型过程及冷镦粗过程进行了数值模拟。Chen等用配点法离散接触约束的边界积分方程，提出了处理本质边界的一系列方法。

除此之外，RKPM法在固体力学，微电机系统的力学分析以及在空气动力学中对某些计算模型进行了计算[10］，得到了比较好的计算结果。

4 结语

无网格法应用范围广泛，虽然发展历史不长，只有短短二三十年。但是在传统的计算力学领域，解决特殊问题，如大变形问题、裂纹扩展问题等，以及一些新兴的工程科学领域，如生命科学、纳米技术等，无网格法所表现出的优势越来越明显。虽然它在理论基础及严格的数学证明上还有不足，但是随着无网格法研究的进一步发展和深入，这些问题的解决应该只是时间的问题了。

[1]张 雄，宋康祖，陆明万.无网格法研究进展及其应用[J］.计算力学学报，2003，20(6):730-742.

[2]顾元通，丁 桦.无网格法及其最新进展[J］.力学进展，2005，35(3):323-337.

[3]张 雄，宋康祖，陆明万.Meshless Methods Based on Collocation with Radial Basis Functions[J］.Comput.Mech，2000，26(4):333-343.

[4]Swegle J W，Hicks D L，Attaway S W.Smooth particle hydro-dynamics stability analysis[J］.Comput.Phys，1995(116):123-134.

[5]曹国金，姜弘道.无单元法研究和应用现状及动态[J］.力学进展，2002，32(4):526-534.

[6]Liu W K，Jun S，Zhang Y F.Reproducing Kernel particle methods[J］.Int J Numer Methods Engrg，1995(20):1081-1106.

[7]张锁春.光滑质点流体动力学(SPH)方法[J］.计算物理，1996，13(4):385-395.

[8]宋康祖，陆明万，张 雄.固体力学中的无网格方法[J］.力学进展，2000(30):55-65.

[9]Liu W K，Chen Y，Chang C T，et al.Advances in multiple kernel particle methods[J］.Comput.Mech，1996，18(2):73-111.

[10]周进雄，李梅娥，张红艳，等.再生核质点法研究进展[J］.力学进展，2002，32(4):535-544.