数学建模思想融入《数学分析》教学

陈涛，李金龙，杨凯凡，刘延军

数学建模思想融入《数学分析》教学

陈涛，李金龙，杨凯凡，刘延军

数学素质和创新能力是现代数学教育的目标，将数学建模的思想方法融入《数学分析》教学，从教学的主要环节提出了渗透数学建模思想方法的一些方法和实践。

数学分析；数学建模；教学改革

当今数学教育，不仅要教给学生数学知识，还要培养学生的数学素质以及应用数学的意识和能力，让学生学会用数学的思维方式观察周围的事物，用数学的思维方法分析、解决现实世界中的实际问题。《数学分析》是高校应用数学和信息与计算科学专业最重要的基础课程之一，是以微积分为基础内容，深度和广度比高等数学和一般的微积分教程更深更广的一门课程。通过这门课程的学习，可以使学生很好地掌握《数学分析》的基本理论、思想和方法，特别是学生对数学的认识和运用方面的悟性与智慧潜能都得到开发，激发他们的学习兴趣，培养他们的数学素质和创新实践能力。

数学建模是运用数学方法和手段分析解决实际问题的过程，实际问题因其鲜明的生动性激发我们的形象思维。数学建模问题来源于现实生活，所提出的问题容易引起学生的兴趣，但问题往往没有清晰的条件和结论，可用的信息和最终的结论要靠学生自己去挖掘，更没有一套典型的解法，用已知的知识方法和传统的方式去处理往往会失败，需要学生重新组合所学的知识，提出一套新的程序甚至新的理论才能解决。建模过程充分体现了知识可以通过“体会”、“构建”、“再创造”等创造性过程及认识过程而获得。

在数学分析教学中，虽然不能直接开展建模竞赛，但是，可以通过引入建模竞赛的思维和方法，来发挥学生的积极性和自主性，以案例分析为重点，以“用”为标准，取舍教学内容。在不损害知识体系的前提下，以“题”为中心组织基础知识讲授，以“练”为手段选择灵活多样的教学方法，突出重点、讲解难点、精讲多练。让学生在“练”中发现自己的知识缺陷，激发求知欲。在《数学分析》教学中渗入数学建模思想方法，结合适当的数学模型，展现数学思想的来龙去脉，把枯燥的知识和丰富的现实架起桥梁，既有利于展现知识发生的过程，又能增强数学知识的目的性，体现数学知识的应用价值，对培养学生的兴趣、提高数学素质有重要意义。

一、数学建模思想在概念和定义讲授中的渗透

《数学分析》中的函数、极限、连续、导数、微分、积分、重积分、级数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间关系抽象出来的数学模型。在教学中可从其“原型”和学生熟知的日常生活中自然而然地引出来。因而，从概念上人手，渗透数学建模思想可以取得良好效果。

（1）所引用实际问题要有原始背景资料，应讲清来龙去脉。《数学分析》理论体系的完善蕴藏着丰富的数学建模思想的轨迹，充满着创造性，了解和学习前人所付出的努力，能给人以启发和激励。在介绍数学建模时，能介绍其思想轨迹、来龙去脉，教学效果会更好。例如，我们常用瞬时速度及切线斜率模型来引入导数概念，便取得了较好的效果。但由于此处我们是用已严格化的分析语言，集速度、斜率之共性给出导数定义的，而在反映先驱者在严密化的创造性工作方面做得不够。如果我们能补充介绍费马在1629年设计透镜求曲线在一点处的切线这一典故，那么，生动的史实就能让学生了解前人在创立新理论时的建模过程，更能激发学生学习的兴趣。

（2）重视每一个概念，但不必都渗透数学模型，应该做到恰到好处。有观点认为，每引出一个新概念或一个新内容，都应有一个刺激学生学习欲的实例，说明该内容的应用性。如果将此作为一个教学模式是不可能的，也是没有必要的。恩格斯说：“自然界对这一切想象的数量都提供了原型。”这里并没有说“这一切想象的数量都是由原型引进来的”，这也是数学本身的一个特点。数学一旦形成基本概念，就可以不借助外界的刺激，只需数学内在的规律，就可以发现新的定义定理，推动数学发展，先有数学原理再发现生活原型的例子比比皆是。因而，在将数学建模思想渗入《数学分析》教学的时候，不必形而上学，机械地在每一个概念定理前添上一个模型，把本来一个完整的系统用支离破碎的模型加以解释说明。我们要抓住重点，只针对本课程中的核心概念和定理进行渗人，有时也可以反其道而行之，即先给概念，再给原题。

二、数学建模思想在定理证明中的渗透

《数学分析》中有大量的基本定理，这些定理对学习理解内容有着重要的作用。灵活运用定理与定理的证明方法是处理教学过程的一大难点。事实上教材中的很多定理，在历史上发明它们的时候，本来是有很自然的背景的，但经过抽象之后写在课本上，学生学起来就不知道为什么需要这些定理，发明者的原始想法也很可能就被隐藏在逻辑推理之中，使得学生初学起来较为困难，不能很好地理解定理。因此，在教学中让学生能在一定程度上了解所学知识的来龙去脉及历史渊源是十分必要的，往往可激发学生的求知欲望，然后把定理的结论看作是一个特定的模型，需要我们去建立它。于是，当把定理的条件看作是模型的假设时，即可根据预先设置的问题情景引导学生一步一步地发现定理的结论，这种融入数学建模思想的教学方法，不但使学生学到知识，而且让他们体验到探索、发现和创造的过程，是培养学生创新意识和能力的好途径。因此，对于一些定理的证明也可采取谈化形式、注重实质的方式进行处理，往往可直观易懂且收到事半功倍的教学效果。这正是体现出数学建模并没有标准模式方法和思路灵活多样的特点。

三、数学建模思想在课外习题作业中的渗透

课外作业是进一步理解、消化和巩固课堂教学内容的重要环节。针对《数学分析》理论性较强的特点，有目的让学生解决一些实际问题。只有把理论应用到实践中去，解决几个实际问题，才能达到理解、深化、巩固所学理论的效果。学生可以自由组队，通过合作、感知、体验和实践的方式完成此类作业。他们在参与完成作业的过程中，培养了不断学习、勇于创新、团结互助的精神。适当布置一些开放型的应用题，给学生以更大的思维空间，以学生为中心，以问题为主线，积极引导学生进行探索是当前教学改革的主流。

四、数学建模思想在考试命题中的渗透

当前，《数学分析》课程的考试命题一般以课本中的例题和习题的形式为主，或者把课本中的某些问题和结论设计成填空题、选择题等，唯独缺乏开放型的应用题以及考查学生灵活地应用数学知识解决问题的题目。这样做也许对教师阅卷方便，但却导致许多学生高分低能，也产生不良的学习导向，学生平时只注重盲目做题，机械地学习，而不重视对概念的深刻理解，也不注意在知识的学习中体会和提炼数学思想和方法。在传统的考试中，适当地增加一些开放型的应用题，要求学生按数学建模的方式方法去解答，这样既能考查学生的数学素质和数学能力水平，又与平时的教改相配套，使学生对所学知识进一步加深理解，培养创新能力。采取与传统考试不同的考核方式，通过命题小论文等方式，让学生加深对所学知识的理解，初步锻炼了学生的写作能力，是建模思想的渗透与升华。

总之，把数学建模的思想方法融人到《数学分析》教学中，透过抽象的表达形式，更好地理解基本概念和基本理论，深刻领会构建模型过程中的一些数学思想方法，目的是要促进学生更好地学习和掌握《数学分析》的基本知识，提高学生的数学应用意识和创新能力，培养学生的数学素质，促进数学教育的改革发展。

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G642.4

A

1673-1999（2011）01-0188-02

陈涛(1979-)，男，陕西汉中人，硕士，陕西理工学院（陕西汉中723000）数学系讲师，从事数学分析教学和研究。

2010-10-17

教育部教育研究项目“使用信息技术工具改造课程”；陕西省教育厅科学研究项目(09JK380)；陕西理工学院教改资助项目。