基于键图的交流感应电动机建模与研究

陈焕明，刘卫国，肖 喆

(西北工业大学，陕西西安710072)

0 引 言

交流感应电动机的能量转换是通过旋转磁场来进行的。研究交流感应电动机动态特性的实质就是研究旋转磁场的变化过程及其相互作用，目前大都采用数值法，因其涉及电、磁、机械以及内能等多种能量领域，使得其研究比较困难。

本文采用键图理论来研究交流感应电动机的磁场及其动态特性。键图基本理论是美国麻省理工学院的H.Paynter教授在运用方块图和信号流图深入研究伺服控制和仿真问题时提出的一种全新的键图表示法，用以研究各个工程领域的系统动态性能。它有四种状态变量:势、流、位移和动量;九种键图元:阻性元、容性元、惯性元、势源、流源、变换器、回转器、0－结和1－结，以及相应的键图规则。键图理论从功率和能量的观点来反映系统中信号的流向、功率的流向以及控制信号的因果关系，后经D.C.Karnopp和 R.C.Rosenberg两位教授的进一步完善，目前已成为一门新型的科学，广泛应用于多能域的复合系统研究。

电机的键图研究始于1980年，Sahm和Karnopp等人在研究电机和运动控制及仿真时，根据电机的动态方程，按照键图理论初步建立了一个电机键图模型。Ghosh和Bhadra等人在1993年对Sahm的电机键图模型进行了更深一步研究，用惯性元来描述电机的旋转磁场。M.D.Bryant和 J.L.Stein等人在其基础上又进行了完善和推广，使键图理论更加广泛应用于电磁领域。国内许多专家和学者也在开展键图研究，但对于电机的键图研究刚刚开始起步。

1 电机键图模型

交流电机的基本类型及其稳态运行理论在20世纪初已基本建立，随着计算机的发展，交流电机理论又进入一个新的时期，可以进行电机的动态和电磁瞬态分析，但电机旋转磁场的研究仍是难点。旋转磁场是电机进行能量转换和传递的基础。当电机的定子线圈通以三相对称正弦波电流时，在电机定子线圈中就会产生在空间上按正弦分布的旋转磁动势，形成旋转磁场。该磁场在其运动过程中切割转子导体，转子导体中就会产生相应的感应电动势，形成感生电流。感生电流的方向是随着旋转磁场的旋转而变化。载流导体在磁场中受力，从而产生运动，使转子沿着旋转磁场方向旋转。这样三相交流感应电动机就将电能通过旋转磁场的作用而转换成机械能输出，能量的转换和传递就是通过场来实现的。这个实现电机功率输入与输出之间关系的旋转磁场，在数学上用磁链矩阵方程来描述。坐标系上的磁链矩阵方程如下:

Ghosh和Bhadra等人根据α、β坐标系上的电压方程、电磁转矩方程和机械运动方程，建立了电机键图模型，而旋转磁场是根据磁链矩阵方程采用键图理论中的多通口惯性I场来描述。如图1所示。图中 Rαs和 Rβs表示定子线圈等效电阻，Rαr和Rβr表示转子线圈等效电阻。

图1 Ghosh电机键图模型

对于鼠笼式异步电动机，根据Hancock研究结果，转子在旋转过程中，转子导条中的电流特性如下:

转子上的电磁转矩如下:

式中:irk代表转子上第k根导条中的电流，k=1，2，3，…，n;θ为机械角位移;n为转子导条数;p为电机极对数。

图2 鼠笼式异步电动机键图模型

根据式(3)和式(4)，西北工业大学在Ghosh等人的电机键图模型基础上对鼠笼式异步电动机做了进一步的研究，建立了转子键图模型及鼠笼式异步电机键图模型，如图2所示。图中R表示定子线圈电阻，Rr表示转子导条电阻。因电机的三相定子绕组和转子导条都是对称分布设计的，故定子各绕组的电阻相等，转子导条的电阻也相等。

2 电机键图模型修正

图2中定子线圈和转子导条之间的磁场的相互作用，是通过两通口惯性元件I场来表示的，但其物理意义不明确。键图理论将涉及能量的多种物理参量统一归纳为四种状态变量，即势、流、位移和动量，对于电、机械和液压等而言，这四种状态变量物理意义很明确。而对于磁场而言，一般将磁路中的磁阻看作类似于电阻，把磁通看作类似于电流，而磁势类似于电动势。但根据其物理特性而言，电阻都是消耗功率的，对于一个呈现磁阻的线圈却贮存能量。事实上，在键图理论中磁场的广义流不是磁通，而是磁通的时间变化率。

对图2的键图模型按照C场的键图法则进行修正，图中的两通口惯性I场应该用两通口容性元件C场来表示。这样应用键图中的变换器和回转器及其相应法则，相应地不改变其因果关系，可将两通口惯性场I∶L变换成GY∶n－C∶P，变换器TF∶m－GY∶n变换成GT∶n－TF∶1/m。调整回转器GY的位置后，回转器的模数n就表示为定子线圈的有效匝数或转子线圈的有效匝数，而P表示磁路的磁导。这样，电机键图模型中α轴和β轴上的两通口惯性I场即用两通口容性C场来代替。用C场来表示的交流感应电动机键图模型如图3所示。

图3 修正后的交流感应电动机键图模型

3 仿真与分析

3.1 模型仿真参数

对于修正后的交流感应电动机键图模型进行仿真。模型仿真参数如下:三相正弦波电压，其幅值Vm=220 V，频率 f=50 Hz，相位差 θ=120°;定子线圈各相总电阻Rs=0.078 8 Ω;定子线圈各相匝数ns=100;转子导条数n=5或n=9;转子各导条电阻Rr=0.040 8 Ω;转子各导条匝数nr=1;定子线圈自感 Ls=0.015 3 H;转子自感 Lr=0.015 9 H;定、转子等效绕组间的互感Lm=0.014 7 H;转动惯量J=0.4 kg·m2;机械旋转阻力系数 RB=0.15 N·s/m;电机极对数p=2。采用变步长四阶龙格－库塔法进行仿真，仿真步长10－6s，仿真时间为2 s。

3.2 仿真结果分析

图4是电机键图模型修正前后的转速曲线的比较，图5是电机起动阶段转速曲线的放大图。从图中可以看出，两模型的转速曲线比较吻合，但两转速曲线在速度上升阶段和在振荡衰减阶段有差异。修正后的模型中考虑到了电机定子线圈的匝数，模型物理意义更加明确。通过两模型的转速曲线比较，说明本文用两通口容性C场所建立的三相交流感应电动机键图模型是正确的。

图6是电机转速曲线和定子线圈电流曲线，图7是电机转速曲线和转子导条电流曲线。转子在随旋转磁场旋转的过程中，转子导条在旋转磁场中的相对位置不同，其感应电流方向也不一样，感应电流的大小及方向是随着转子的旋转而交替变化的，转子上相邻导条之间的感应电流相位差为2π/5。

在模型建立过程中，为研究方便，暂取转子导条数n=5。相应地选取转子导条数n=9进行建模和仿真，电机转速曲线和定子线圈电流曲线如图8所示。对于转子导条数n=9的电机转速曲线和对于转子导条数n=5的电机转速曲线进行对比分析，两转速曲线基本一致。而电机定子线圈电流曲线的波动有区别，转子导条数越多，定子线圈电流曲线的波动越小。转子上各导条中的电流曲线如图9所示，图10是各导条中电流曲线的放大图。通过比较图7和图9可以看出，转子上各导条中的电流峰值下降比较大，转子导条数越多，转子导条中电流就越小，相邻导条之间的感应电流相位差为2π/9。

4 结 语

交流感应电动机中的电、磁与机械能之间的相互转换是通过场来进行的，场是能量交换的基础。本文在鼠笼式异步电动机键图模型基础上，应用键图理论中有关场的理论，详细分析和研究了交流感应电动机键图模型，并对其进行了修正，用容性C场代替惯性I场建立起了交流感应电动机的键图模型，这样使得电机定子线圈匝数等物理参量在键图模型中明确地显示出来，模型物理意义更加明确。通过仿真对比两模型的速度曲线，说明本文基于容性C场建立的交流感应电动机键图模型是正确的。同时，本文也进一步分析了转子导条数量对其动态特性的影响。转子导条数量越多，定子线圈电流的波动越小，转子导条中的电流也越小，这有利于降低转子因导条电流而产生的热效应，为交流感应电动机的优化设计提供参考。但转子导条数的增加，也增加了电机转子的物理尺寸，最佳转子导条数有待于更进一步的研究。

［1］ 卡诺普 D C，罗森堡 R C.系统动力学－应用键合图法［M］.胡大纮，邓延光，译.北京:机械工业出版社，1985.

［2］ 任锦堂.键图理论及其应用－系统建模与仿真［M］.上海:上海交通大学出版社，1992.

［3］ 汤蕴，张奕黄，范瑜.交流电机动态分析［M］.北京:机械工业出版社，2004.

［4］ Karnopp D C，Margolis D L，Rosenberg R C.System dynamics:Modeling and Simulation of Mechatronic Systems［M］.New York:John wiley and sons Inc.2000:20－53.

［5］ Sahm D.A Two－Axis Bond Graph Model of the Dynamics of Synchronous Electrical Machines［J］.J.Franklin Inst.，1979，308(3):205－218.

［6］ Ghosh B C，Bhadra S N.Bond Graph Simulation of a Current Source Inverter Driven Induction Motor(CSI－ M)System［J］.E-lect.Mac.Power Syst.，1993，21:51 －67.

［7］ Hancock N N.Matrix Analysis of Electrical Machinery［M］.London:Pergamon Press Ltd.，1984.

［8］ 陈焕明，刘卫国，匡春发，等.鼠笼式异步电动机的键合图建模与仿真［J］.微特电机，2011(3):4－7.

［9］ 熊伟，包钢，李洪人.20－sim软件介绍及其应用［J］.液压与气动，2000(4):31－33.