曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化求解

吴义成

（马鞍山职业技术学院，安徽马鞍山243000）

曲柄摇杆机构是铰链四杆机构中的一种，在实际工程应用中，该型机构应用广泛，如缝纫机踏板机构、搅拌器机构等。针对此类型曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计，主要是指当曲柄作等速转动时，要求摇杆按已知的运动规律运动（如图1所示）。

图1 曲柄摇杆机构简图

该型优化设计可使用的方法很多，如使用传统约束优化设计方法中的惩罚函数法、复合形法以及可行方向搜索法等，基本上都比较繁琐。本文基于MATLAB软件当中优化工具箱功能，对之进行建模后，使用MATLAB语言进行编程，求解出最优参数，具有简便、高效的特点。

1 设计变量的确定

当摇杆按已知运动规律开始运行时，曲柄所处的位置角φ0应列为设计变量，所以设计变量有

为简化计算，取l1=1，其他杆长按比例取为l1的倍数。

曲柄的初始位置角为极位角，则φ0及摇杆l3位置角Ψ0均为杆长的函数。

由图1所示，在初始位置，l1杆和l2杆在同一直线上，他们同l3和l4杆共同构成一个三角形。只要l2、l3、l4为互相独立变量，则设计变量变为

2 目标函数的建立

所谓再现已知运动轨迹，是指机构的连杆实际运动曲线尽可能地接近某一给定摇杆曲线ψE(φ)。为满足设计要求，这里根据已知的运动规律与机构实际运动规律之间的偏差最小为指标，来建立目标函数，即

式中，

ΨEi为期望输出角，ΨEi=ΨE（φi）；

m为输入角的等分数；

Ψi为实际输出角。

对于实际输出角Ψi，要将之变成设计变量的函数。这里分两种情况，当0≤ φi<π和π≤φi<2π时，任意位置实际输出角Ψi的值。由图2所示。

图2 曲柄摇杆机构的运动学关系

由图2可得

3 约束条件的确定

（1）曲柄摇杆机构要满足曲柄存在的条件。其中最长杆与最短杆的长度之和应≤其他两杆长度之和；四杆中要有一个为最短杆。因此有

（2）曲柄摇杆机构的传动角应大于某一个γmin最小值。为保证机构良好的传力性能，传动角尽可能接近90°。设计时一般满足γmin≤γ。而且曲柄摇杆机构的最小传动角γmin出现在曲柄与机架共线的两位置之一（如图3所示）。

图3 曲柄摇杆机构最小传动角可能位置图

也即

由图3 a)可得

当∠BCD≥90°时，

取

由图3b)可得

当∠BCD＜90°时，

取

4 对应用实例进行优化求解

4.1 具体应用实例

某一曲柄摇杆机构，要求曲柄l1从 φ0转到φm= φ0+90°时（0＜ φi＜ π），摇杆 l3的转角最佳再现已知运动规律

且已知l1=1，l4=5，φ0为极位角（如图1所示），其传动角不能小于45°，即γmin=45°，设计出最佳连杆l2和摇杆l3的杆长。

由前文的分析可知，φ0和ψ0不是独立参数，可由下式求出

因此，该问题只有两个独立变量l2和l3，设计变量为

将输入角分成30等分，得目标函数表达式

这里，机构实际输出角

其中，

约束条件按上文分析的曲柄存在条件及对传动角的限制来建立，由式（5）到式（8）得

4.2 使用MATLAB优化工具箱编程求解

MATLAB优化工具箱提供了对各种问题的一个完整解决方案，广泛应用于线性规划、二次规划、非线性优化、最小二乘问题、非线性方程求解、对目标决策、最小最大问题等。其函数表达简洁，参数设置自由，相比于其他很多成熟的优化程序，具有明显的优越性。MATLAB通过调用功能函数，来实现这一问题的优化。

本例属于一般非线性规划问题，其标准型为

调用MATLAB软件优化工具箱中非线性规划求解函数fmincon来求解。

其命令的基本格式为

其中各个参数的含义如下：

fun为求解的目标函数；

x0为变量初值；

A，b为约束函数中线性不等式约束的参数；

Aeq，beq为约束函数中线性等式约束的参数；

C(X)，Ceq(X)均为非线性函数组成的向量；

vlb，vub分别是变量X的下限和上限值。

4.3 求最优解的三个步骤

（1）根据前文叙述的目标函数表示法，建立M文件fun1.m，定义目标函数：

（2）根据前述的约束方程，建立M文件nonlcon.m，定义线性约束和非线性约束：

（3）根据非线性规划求解函数fmincon的形式，建立主程序youh.m函数：

运行该主程序后，求解结果为

此求解结果与文献[1]中使用惩罚函数法求解的最优解基本一致。文献[3]中对于相同问题的求解结果与文献[1]和本文都不同，其中间过程应该有误。

5 结束语

本文在文献[1]基础上，针对曲柄摇杆机构再现已知运动规律优化设计问题，进行了运动及建模分析，进一步澄清了传动角的概念。使用MATLAB优化工具箱功能，运用MATLAB语言进行编程求解，对使用惩罚函数法解决该问题进行了验证。此应用程序为解决同类优化设计问题，提供了一个有益的借鉴，可大大提高解决此类问题的效率。

[1]孙靖民，梁迎春.机械优化设计[M].北京：机械工业出版社，2007.

[2]杨明才.缝纫设备技术手册[M].南京：江苏科学技术出版社，2009.

[3]周剑平.基于MATLAB的机械优化设计[J].黄石理工学院学报，2005，（3）：43-45.