关于不定方程x2+4=y7

何 桃，郭金保，穆秀梅，赵杏花

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

关于不定方程x2+4=y7

何 桃，郭金保，穆秀梅，赵杏花

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

利用初等方法及代数数论方法讨论了不定方程x2+4=y7的整数解问题，并证明了不定方程x2+4=y7无整数解。

不定方程；整数解；整环；代数数论

设A，B∈N，A无平方因子，关于不定方程

Ax2+B=yn

为了证明我们的主要结果，需要引入下面的

引理 设M是唯一分解整环，正整数K≥2，以及α，β∈M，（α，β）=1，那么：若αβ=γk，γ∈M，则有

α=ε1μk，β=ε2νk，μ，ν∈M。

其中ε1，ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk，ε为单位元素。

证明 请参见文献［3］。

下面是本文的主要结果。

定理 不定方程

无整数解。

证明 先假设x≡1（mod2），在 Z[ i]中，（2）可写为

设δ=（x+2i，x-2i），由δ｜（2x，4i）=2知δ只可能是1，1+i和2。由x≡1（mod2）知x+2i≡1（mod2），所以δ≠2。如果δ=1+i，则

由于x≡1（mod2），因而不存在这样的整数x，y满足方程（2）。因此δ=1，由此及引理可得x+2i=（a+bi）7，x，a，b∈Z。

因而有

因此b=±1，±2。当b=1时，由第二式有

7a6-35a4+21a2-3=0，即

7a6-35a4+21a2+1=0，即

7a2，不可能。

当b=2时，

1=7a6-140a4+336a2-64，即

7a4，不可能。

b=-2时，

1=-7a6+140a4-336a2+64，即

a6-9=4a2( 5 a2-12)，故也不可能。所以，此种情形无方程（2）的解。

在 Z[ i]中（3）式可写为

因此，

故由引理可得，

x1+i=（1+i）5（a+bi）7，即

x1=-4［a7-21a5b2+35a3b4-7ab6-b

综合以上讨论情况，不定方程x2+4=y7无整数解。

［1］Lebsgue V A.Surlimpossibiliteen Numbers Entiers de E-quation xm=y2+1［M］.Nouv.Amn.Math.1850.

［2］Nagell T.Sur Limpossibilite de Quelques Equations Deux Indeterminees［M］.Norsk Marem Forenings Skrifter Senel，1921.

［3］潘承洞，潘承彪.代数数论［M］.济南：山东大学出版社，2003.

［4］柯召，孙琦.谈谈不定方程［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［责任编辑 贺小林］

On Diophantine Equation x2+4=y7

HE TAO，GUO Jin-bao，MU Xiu-mei，ZHAO Xing-hua

（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

Using the elementarymethod and algebraic number theory，the integer solution of the Diophantine equation x2+4=y7is discussed in this paper，and the Diophantine equation x2+4=y7which has no integer solution is proved.

diophantine equation；integer solution；integer ring；algebraic number theory

O156

A

1004-602X（2011）03-0007-02

何 桃（1984—），女，陕西榆林人，延安大学在读硕士研究生。

2011- 05- 21