向量似变分不等式的间隙函数的可微性和灵敏性
2011-06-02刘学文谭仁新
张 悦，刘学文，谭仁新
(重庆师范大学数学学院，重庆 400047)
设S是Rm中的闭凸点锥，且intS≠∅，K是Rn中任意给定的非空紧子集，L Rn，R( )m是表示从Rn到Rm的所有线性连续算子的集合，映射F:Rn→L( Rn，Rm)，单值映射η:K×K→Rn。向量似变分不等式问题(VVLI)就是求 x∈K，使得对任意的 y∈K，有〈F(x)，η(x，y)〉∉ －S{0Rm}。弱向量似变分不等式问题(WVVLI)就是:求 x∈K，使得对任意的 y∈K，有〈F(x)，η(x，y)〉∉ －intS。
本文令η(x，y)=t(x)－t(y)，其中t:K→Rn单值映射，则(VVLI)问题变为:求x∈K，使得对任意的y∈K，有〈F(x)，t(x)－t(y)〉∉ －S{0Rm}，即(VVLI)*;求x∈K，使得对任意的y∈K，有〈F(x)，t(x)－t(y)〉∉ －intS，即(WVVLI)*问题。
当t是恒等映射，即对任意的x∈K，有t(x)=x，则(VVLI)*和(WVVLI)*就退化为一般的向量变分不等式和弱向量变分步等式，因此它们分别是向量变分不等式和弱向量变分不等式中更广的形式。
1 基本知识
假设L Rn，R( )m是从Rn到Rm的所有线性连续算子的集合。对任意A∈L Rn，R( )m，A的模为
Rn是有限维空间，那么L Rn，R( )m也是有限维Banach空间。
定义1［1］称向量值函数 F:K→L Rn，R( )m在 x0处 Frechet可微，如果存在一个线性连续算子Ψ:Rn→L Rn，R( )m，使得:
则称Ψ为F在x0处的导数，记为▽F( x0)。如果对任意的x∈K，F在x处都可微，则称F在K上Frechet可微。
定义2［2－3］设 C 是 Rn中的非空子集，令，则:
定义3［4］设C是Rn中的非空子集，向量值函数Φ:Rn→Rm。
注1 如果Φ:Rn→Rn是恒等映射，即Φ(x)=x，∀x∈Rn，则C在处的Φ－相依锥就是C在处的相依锥，可见Φ－相依锥可看成是相依锥的推广。同理，Φ－邻接锥可以看成是邻接锥的推广。
命题1［4］设C是Rn的非空子集，向量值函数Φ:Rn→Rm在∈C处连续可微，如果，则
命题2［4］设C是Rn的非空紧子集，向量值函数Φ:Rn→Rm连续。令
定义4［2］称graphG为集值映射G:Rn→2Rm的图，如果
定义5［2］设，集值映射定义如下:
注2 由定义5可知:对任意的，当且仅当存在序列 { hn}⊂R+{0}:hn→0，{ ( xn，yn)}⊂Rn×Rm:(xn，yn)→(x，y)使得对任意的
引理1［5］设序列{αn}⊂R+:αn→0，{βn}⊂R+{0}:βn→0，则分别存在{αn}、{ βn}的子列 { αni}、使得
定义6［5］设S⊂Rm是闭凸点锥，A⊂Rm，记MaxSA和MaxintSA分别为A的极大点和弱极大点的集合，其中
1)对任意的a∈MaxSA，当且仅当a∈A，且不存在a*∈A，使得a*－a∈S{0Rm} 。
2)对任意的a∈MaxintSA，当且仅当a∈A，且不存在a*∈A，使得 a*－a∈intS。
定义7［6］称S的子集B是S的基，如果0Rm∉B，且对任意的d∈S，d≠0Rm可唯一表示成d=∂b，其中∂＞0，b∈B。
引理2［7］设A是Rm中的非空紧子集，S是Rm中的闭凸点锥，且intS≠∅，则
2 集值映射G(x)的可微性
设K是Rn中的紧子集，F:Rn→L Rn，R( )m连续Frechet可微，t:K→Rn连续可微，设集值映射
下面将讨论G(x)的可微性。
定理1设，且，则对任意的，有定义
证明假设，由定义5 知对任意的，存在序列 { hn}⊂R+{0}:hn→0，，{ ( xn，yn)}⊂Rn×Rm:(xn，yn)→(x，y)，使得对任意的 n，有
又由F连续Frechet可微，则可得F的Taylor展式为
又由式(3)可得
由式(4)可得
由式(5)得
情况1假设存在子列使得，根据假设条件知:，与式(7)矛盾。
情况2 假设存在M＞0，使得对任意的n有
因为hn→0，而t连续，故由式(8)可知只有
由于Rn是有限维空间，故可设，有定义知z∈Tt(K，¯x)，又根据式(6)和(9)可得
即
取序列 { xn}⊂Rn，{ yn}⊂Rm，使得 xn→x，令
则yn→y且
3 (VVLI)*与(WVVLI)*间隙函数的可微性与灵敏性
定义8 设S是Rm中的闭凸点锥，且intS≠∅，集值映射N:Rn→2Rm是向量似变分不等式(VVLI)*的间隙函数，如果
定义9 设S是Rm中的闭凸点锥，且intS≠∅。集值映射W:Rn→2Rm是向量似变分不等式(WVVLI)*的间隙函数，如果
命题3 设S是Rm中的闭凸点锥，且intS≠∅，
1)集值映射N:Rn→2Rm，N(x):=MaxS[F(x)，t(x)－t(K)]，x∈K，则N(x)是(VVLI)*的间隙函数;
2)设集值映射 W:Rn→2Rm，W(x):=MaxintS[F(x)，t(x)－t(K)]，x∈K，则 W(x)是(WVVLI)*的间隙函数。
证明
对于2)的证明与1)类似，只需将S和MaxS分别换成是intS和MaxintS即可。
定理2设，且，则对任意的，有
证明假设，显然有如果，则根据极大元的定义，存在，使得
F连续Frechet可微，则可得F的Taylor展式
由式(12)、(13)，有
令
由式(11)、(14)有
定理3设，且
证明因为N(x)⊆W(x)，故由定理2可知结论成立。
引理3 设，且，则对任意的，有
其中(G－S)(x)=G(x)－S。
证明显然
如果d≠0Rm，则与矛盾。故d=0Rm，即dn→0Rm。对 d{ }n分2种情况讨论。
情况1 存在 n0，使得当 n≥n0时，dn=0Rm，则
情况2 存在 { d }的子列 { d }，不妨仍记为 { d }，满足 d≠0，∀n，则有界，否则
nninnRm无界。不妨设，于是S有一个紧基，再由文献［8］中的引理3.1有
反之，由命题1［15］可知
定理4 设，如果，则对任意的，有
证明由引理3得，所以
4 (VVLI)*与(WVVLI)*的最优性条件
定理5 假设下面条件成立:
证明因为N(x)⊆G(x)，所以，又由条件3)可得{0Rm}。K是紧集，所以t(K)是紧集，对任意固定的x∈K，所以G(x)也是紧集。因此由引理2有G(x)－S=N(x)－S。
由定理4有
引理4［6］设S有一个基是一个非空闭凸锥，且，则也有一个基。
定理6假设下面的条件:
成立，则∀x∈Dom(DN(^x，^y));，
证明由N(x)⊆W(x)和定理4，只需证明
K是紧集，对任意固定的x∈K，有t(K)是紧集，所以G(x)也是紧集。由引理2有，再由定理 3 有
推论1 假设下面的条件:
证明由定理2和定理5直接可得结论成立。
定理7设，如果是(WVVLI)*的解，则
证明设是(WVVLI)*的解，则对任意的
定理8 假设下面的条件:
证明是(WVVLI)*的解，0Rm∈MaxSG(x)，由定理7知
再由推论1知结论成立。
定理9 假设下面的条件:
2)存在闭凸锥 ˜S，满足 ˜S R{ }m⊂intS;
证明由于是(VVLI)*的解，0Rm∈MaxSG(x)，根据定理7可得
再由定理6可知结论成立。
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