灵敏度约束的自整定最优比例积分控制器

陈永会 谭功全 谭 飞 傅成华

(四川理工学院自动化与电子信息学院，四川 自贡 643000)

0 引言

尽管控制理论不断发展，比例积分PI控制器仍然在过程工业控制中被广泛使用。据报道，典型的造纸工厂控制回路超过2000个，其中97%使用PI控制器［1］。所以，PI控制器参数整定的改进意义重大。

大多数工业过程能够用带时延的一阶延时(first order plus delay time，FOPDT)模型近似。根据此模型，涌现了大量的PI/PID参数整定法［2］，从经典的 Z-N法［3］、Cohen-Coon 法［4］、Internal Model Control法［5］，到基于积分性能指标 ITAE［6］和 IAE的优化法［7］等。这些方法既有优点，也有不足之处，使用时也会受到限制［7－8］。本文提出了一种保证闭环系统鲁棒稳定性的最优控制器的设计法，并获得了控制器的参数化整定公式。同时，提出用双通道继电测试技术［11］来获取闭环系统期望特征信息以建立FOPDT模型的方法，据此实现控制器参数的继电自整定。

1 问题描述

典型反馈控制回路如图1所示。图1中，P(s)为过程模型，C(s)为需要设计的控制器;r为设定值，d为负载干扰，y为被控变量，e为偏差信号。

图1 反馈控制回路Fig.1 Feedback control loop

考虑一阶延时FOPDT系统模型P(s)为:

式中:Kp、Tp和Lp分别为过程静态增益常数、惯性时间常数和时滞时间常数。过程的相对时间系数Tr定义为惯性时间常数与时滞时间常数之比，即:

Tr越大，过程越容易控制;反之，控制难度越大。

针对负载干扰d为阶跃变化，故期望控制系统最大误差较小，振荡轻微，则建立时间短且没有稳态误差。

控制器采用PI调节律，传递函数为C(s):

式中:Kc、Ti和Ki分别为比例增益、积分时间和积分增益常数。PI控制器有两个独立可调参量，可以满足稳定性指标和使性能优化的指标。利用式(1)、(3)建立从负载干扰d到过程输出y的传递函数为:

由上式可以得出，Ki越大，受干扰的影响越小。所以，性能优化指标可选为使Ki最大化。

2 设计方法

2.1 PI优化方法

对于开环稳定的系统，闭环稳定的条件是开环频率特性的极坐标图线不包围复平面的(－1，j0)点。开环奈奎斯特曲线离(－1，j0)点的远近定义为:

式中:R为开环频率特性距离(－1，j0)点的最短距离。R越大，系统开环奈奎斯特曲线离临界点(－1，j0)越远，系统的稳定程度越高。系统的灵敏度函数为:

式中:Ms为系统的最大灵敏度值。Ms越小，鲁棒性增强;Ms越大，则相反。因此，选择Ms作为鲁棒稳定性指标是合适的。

又如欧阳修散文中著名的《与高司谏书》，尤其能体现议论争煌煌的特色。这篇散文具有很强的针对性和实用性，先论述欧阳修对于高司谏的“三疑”，紧接着以范仲淹被贬而高司谏一言不发的行为得出历时多年的“三疑”果真不假。精彩的还在于欧阳修从假设范仲淹确实不贤与范仲淹确是贤臣两方面加以议论，任何角度都足以支撑自己的观点，充分体现论辩的实用力量。欧阳修散文中有许多议论煌煌之作，由于它们持论有据，逻辑严密，极具批判意识，也就更容易被作为政治生涯中口诛笔伐的利器，欧阳修以此讨伐奸邪，伸张正义，使议论成为了治世救弊而实现散文经世致用的一种表达方式。

对式(1)和式(3)，有开环频率特性:

如果给定了PI控制器参数Kc和Ki，则由式(4)可计算出R，即可知Ms。对于指定的Ms，选择Kc为某个数值，调整Ki满足Ms的限制，即得到一个(Kc，Ki)对。在系统稳定条件下让Kc变化，则满足Ms限制的Ki跟随变化，由此得到满足特定Ms限制的多对(Kc，Ki)。

基于误差积分的性能指标典型的有误差平方积分(ISE)、误差绝对值积分(IAE)和时间乘误差绝对值积分(ITAE)等。一般地，时间乘误差绝对值积分有较好的响应速度［6］。以满足 Ms限制的(Kc，Ki)对中 ITAE最小的一对作为最优目标是合理的。对于式(1)描述的过程，在Ms=1.4的限制下，通过数值仿真，寻得ITAE最小的Kc和Ki为:

式中:Tr为相对时间系数，取值在0.1～10之间。

运算发现，满足Ms限制的积分增益Ki总有最大值，选积分增益最大作为性能优化指标也是一种选择。在式(1)和式(2)中，当 Tr在0.1 ～10 之间时，在 Ms=1.4限制下，积分增益最大的Kc及最大值Ki为:

式(7)和式(8)都是利用计算机进行参数空间搜索运算而得。由于两式中的Kc和Ki差异并不大，将这两种方法统称为灵敏度约束的最优PI控制器(maximum-sensitivity constraint optimal PI，MsOPI)。

2.2 自整定方法

不同控制难度Tr的系统，在MsOPI控制下的开环频率特性和闭环频率特性复平面如图2所示。开环频率特性几乎都通过平面中的“o”点，闭环频率特性几乎都通过平面中的“+”点，而对象特性与“o”或“+”点相对应的是图中的“*”点。

图2 MsOPI控制下系统特定频率点Fig.2 System specific frequency points under MsOPI control

系统自整定结构如图3所示。

图3 自整定系统方块图Fig.3 Block diagram of auto-tuning system

图3中，N(A)代表双通道理想继电器，它为理想继电器通道和积分子环节串联理想继电器通道的并联结构，其描述函数为:

式中:br和bi分别为两个继电器的输出振幅;A为正弦偏差信号e(t)的振幅。通过继电测试能够获取闭环频率特性H(jω)穿越图2所示负倒描述函数曲线(图2中穿越坐标原点和“+”点的直线)的点H(jωo)，继而获得过程相应点的信息P(jωo)为:

实际中用一阶延时模型式(1)近似。若已知过程静态增益Kp，则式(1)的频率特性P(jω)满足式(10)的辨识点信息时，可以得到过程的时间常数Tp和延迟时间 Lp，即:

式中:ωo为继电振荡频率。由此，依据式(2)和式(7)或式(8)，可自动整定出MsOPI。

3 仿真

3.1 一阶延时过程

假设过程模型和自整定前PI控制器模型分别为:

继电测试获取的闭环频率点及由式(10)计算出的过程频率点特性分别为:

式中:ωo=2.3552。依照式(11)、(12)可得辨识的参数为Tp=1.0499、Lp=0.5214。于是由式(8)得 MsOPI参数如表1所示。表中同时列出了RZN(refine ZN)法PI参数［12］。两种PI控制下，系统的设定值阶跃及负载阶跃响应如图4所示。

表1 一阶延时过程的PI控制器参数Tab.1 Parameters of PI controllers for example

图4 一阶延时过程阶跃响应曲线Fig.4 Step responses of FOPDT process

3.2 多容延时过程

假设过程模型和自整定前PI控制器模型分别为:

继电测试获取的闭环频率点及由式(10)计算出的过程频率点特性分别为:

式中:振荡频率ωo=0.2013。依照式(11)、(12)得辨识的参数为 Tp=7.3618、Lp=5.3057。于是由式(8)得MsOPI参数如表2所示。

表2 多容延时过程的PI控制器参数Tab.2 Parameters of PI controller for multi-vessel delay time process

两种PI控制下系统的设定值阶跃及负载阶跃响应如图5所示。

图5 多容延时过程闭环阶跃响应Fig.5 Closed-loop step response of multi-vessel delay time process

4 结束语

对常规稳定生产过程，通过继电反馈法辨识闭环系统的特征信息获取了过程的近似FOPDT模型。在此模型上，采用最大灵敏度值保证系统的鲁棒稳定性，并用ITAE指标或最大积分增益优化系统的响应性能，得到一种最优PI控制器。

仿真结果表明，所提出的继电自整定最优PI控制法是有效的，所得控制系统的时域阶跃响应几乎无振荡现象。

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