小学估算教学的观察与思考

王永锋

一、教学困惑

【案例】考试的“困惑”

情境描述：

2002年某县期末考试卷上有这样的一道估算题：

51×29≈

阅卷时发现，学生的结果五花八门，具体答案有：①51×29≈1478 ②51×29≈1480 ③51×29≈1500 ④51×29≈1450 ⑤51×29≈1530 ⑥51×29=1479。其中，①②③三种答案居多。

对此，阅卷教师的意见不一。有人认为答案③④⑤都应该是对的。有人认为，依据参考答案，只有答案③正确，答案④⑤不是最好的。

困惑讨论：

（1）答案⑥能算对吗？（2）什么叫做答案不是最好的？答案的好与不好有什么标准?为什么会出现答案①②?经过一番访谈、分析、思考，我们终于明白了他们的想法，他们先算出51×29=1479，再用1479加上1或减去1得到。造成这样结果的原因是什么?

二、一幅图的启示

从图中让我们认识到：学习数学和学会计算是什么关系?在数学教育中，是把计算当成目标，还是把计算当做工具，需要我们从更高层面来思考并定位。估算、使用计算器、使用计算机三个新途径出现，促使我重新思考计算教学的价值与意义。

我们应该把计算放在数学体系之中，让学生明白，他们什么时候需要计算，为什么要计算，选择什么方法进行计算，他们需要精确答案还是近似答案。学生就会将计算作为解决问题的一个组成部分，把计算与实际问题情境联系起来。

这幅图让我们认识到估算在计算中应有的地位。估算与精算是计算的两种基本形式，估算不是附属于精算的，它可以独立存在。同时，估算贯穿于精算（笔算、使用计算器、使用计算机）产生精确答案的过程之中，以便预见利用笔算、使用计算器、使用计算机所得到的计算结果的合理性（是否在正确结果的范围内）。

这幅图让我们认识到计算内部各种形式之间的关系，以及计算教学在数学学习中的地位。当然，更让我们对估算另眼相看。

三、我们寻找怎样的出路

1.重新认识估算在计算教学中的地位

生活中，有时需要一个精确的结果，有时只需要一个大概的结果，这就需要用到精算或估算，但什么时候用精算，什么时候用估算，必须让学生感受到各自不同的 作用。学生在大量的精算影响下，精算的意识强于估算。面对现实的问题情境时，学生会在一种无意识状态下首先调用精确计算来解决问题。面对这样的现状，相对于培养学生而言，在怎样的情境下、选择什么估算策略，这样的意识就至关重要。作为教师要抉择估算教学需要教什么?或者说如何培养学生的估算意识?我们认为：估算意识是指学生运用估算手段解决一些实际问题（日常生活情境问题、纯算式问题）的意识与方法。主要包括：①面对实际问题确定在什么情况下需要精算，什么情况下需要估算；②在需要估算的时候，能合理地选择某一种估算策略解决问题，并对结果的合理性作出解释。

（1）在怎样的情境下需要估算

在日常生活中，由于条件的限制，人们常常无法（有时也没必要）进行精确的计算和判断，这时只需采用估算。如购物吃饭，要估算价格；行车走路，要估算时间；出差旅游，要估算路程；投资经商，要估算成本、利润等。然而，相对于课堂教学，估算教学是一个新内容，我们没有太多的经验积累。我们大家内心都承认估算在生活中的应用价值，承认在生活中估算比精算用得还多，可是真正好的例子，能够在课堂中让学生理解估算的意义、估算策略多样化的例子就太少了。这让我想起一句话“一般的方法不一定能简便，简便的方法一定有局限性”。我们试图拉大背景探讨困惑。在什么情况下需要使用估算?当前的数学课堂教学中，学生往往在看到“大约、左右”字眼时才用估算。使用估算的情况主要有以下三种：

①已知的数据不精确。在第一学段，有些无法进行精算的情景，只有运用估算。如北师大版（2004年版）三年级上册第38页实践活动，估计“一千克黄豆大约有多少粒?”就比较容易创设情景引导学生进行估算。

②计算中使用简化的近似公式，或者约简计算过程。例如，李阿姨在商店挑选了两袋米、一块牛肉、一些蔬菜和鱼，售货员告诉她：每袋米35.4元，一块牛肉14.8元，蔬菜和鱼分别为6.7元和12.8元。李阿姨带了100元，够吗？又如269.9×7.1大约是多少？ + 比1大吗？

③忽略次要因素或数据。在这种情况下，计算的结果一般是近似值，误差的大小取决于估算的方法，而误差的允许范围则取决于问题的实际背景和特定要求。

（2）在怎样的情境下运用怎样的估算策略

根据我们的文献综述研究表明，估算策略呈现多样化。徐群飞（2004）在其硕士论文中，按问题类型对学生所用的估算策略加以归纳。具体包括：①整数运算题的估算策略主要有取整估算、取平均值估算、口诀估算法、数位估算法和利用标准算法估算。其中取整估算主要包括以下几种：四舍五入法、保留最高位法（截断法）、增减平衡法、省略尾数法。②分数（百分数）题的估算策略主要有取整估算、化成小数估算、利用性质估算法、引入中间量进行估算。③小数题的估算策略主要有取整估算、化成其他更容易计算的小数或分数再估算、利用性质估算法或利用标准算法估算。然而，当前众多的研究表明，小学生在选择估算策略时，最常用的是四舍五入法、取整法、取平均值法，而且学生习惯于对整数估算，对小数、分数的估算相对弱一些。

估算策略的选择主要取决于：取整。在运算中决定如何取整依赖于所涉及的具体数字和使用的运算法则以及问题的实际情景。例如，下面的例子就涉及多种不同情况的估算，在不同情况下分别选择哪种估算方法，需要具备一定的策略。

爸爸想买以下两件商品：皮鞋387元、西服525元。

（1）购买前估计，带1000元够不够?（估算，保留最高位法）

（2）付款前估计，大约需要几百元?（估算，可用四舍五入法）

（3）收银员收款，一共需要多少元?（精算）

（4）购物800元以上可抽奖一次，能否抽奖?（估算，省略尾数法）

估算策略的灵活运用是难以教会的，必须让学生在各种具体情境中逐步体验、感悟。我们教师要在不同的场合给学生提供估算的机会（不单是在估算内容教学时强调）。当然，主要的估算策略，我们设置专门的估算课进行学习。

当前我们欠缺的是对问题背景的理解和研究。重要的是应让学生明白什么时候估算是合理的,如何根据形势和环境来确定精确度,如何提取主要因素，哪些数据可以忽略不计

等。还应让学生明白精确并不总是比近似好，有时精确是不可能的，甚至是荒谬的。在这里，我们教师自身也要作出深刻的反思，我们对估算了解多少?对于估算我们知道些什么?我们知道估算的意义吗?估算有哪些教学策略?自身具备估算的本体性知识（如离散量和连续量、绝对误差和相对误差）吗?我们对估算教学的态度和笔算教学一样吗?估算作为一种教学内容上的新生事物,我们要去接纳它、去认识它、去理解它。在这个过程中，我们不能守望于教材，我们要不断积累教学经验，去借鉴专家的研究，运用理论的导向去探索估算教学的好案例。当我们真正感悟到估算的价值时，我们才会培养学生进行估算的意识。事实上，在生活中是否使用估算往往不是能力问题，而主要是意识和习惯的问题。

2.进行估算的基础有哪些

学生得到估算值时的一个基本观念就是灵活地运用取整策略将困难的运算变成相对容易的可以心算或只需要少量笔算的过程。要实现这样的目标，就需要学生熟记基本运算，能对整十数和十的倍数进行在可视范围内的运算，以及知道不同运算法则对数字的不同影响。

（1）熟练掌握数的基本运算。数的基本运算是100以内的加减乘除运算。我国现行《数学课程标准》在第三部分内容标准中对数的运算作出具体界定。数的基本运算以第一段（1~3年级）内容为主。具体包括：熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算百以内的加减法和一位数乘除两位数；能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法（主要以整十整百整千数为主）；能比较一位小数的大小，能比较同分母分数（分母小于10）的大小；会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。另外，包括第二段（4~6年级）的内容，探索并了解运算律，会应用运算律进行简便运算；能分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算；另外，还有一些特殊速算，如25×4、125×8。这些数的基本运算的数学结构并不多。我们在整理分析过程中发现这些要求中有很多涉及0、1、2并借助运算的一些属性。这就要求学生在学习这些基本运算时，既要关注练习的量，使其达到“熟能生巧”，又要强调学生对这些基本运算的领悟、理解，使其能“灵活运用”。我们的教学经验提醒我们，在运算教学中我们过分强调运算的程序性（如笔算时的一些计算方法），而忽视学生在运算中的灵活性与变换性。笔者曾做过一些日常调查，如124÷0．5与124×2两类题哪类计算简单?学生普遍不能转化为一类解决。因此，在学生进行练习时，教师要有意识地引导学生进行比较，去感悟运算内部的联系。

（2）加强学生在可视范围内的计算。可视范围内的计算，是指在数的运算中不需要使用笔算或计算器能快速、正确得出答案的计算。许多计算都能通过运用数位思想、基本运算、分数或小数或百分数的恒等形式和运算特性作出快速反应。如8000+3000、2300-600、500×30、6300÷900、0．75+0．25、0．6×70、57．6÷100、10÷2．5、9- 、6÷ 、420的50％等等。这些计算能为估算运算中的策略选择提供思考支点。

（3）强调学生对运算法则的理解。为估算选择合理的策略与估算值需要理解运算基本规律的意义以及对数字的影响。运算基本规律就是加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律。小学阶段形形色色的恒等式，归根结底都是从这五条基本规律中推出来的。在此基础上，学生要对加、减、乘、除有整体与具体的理解。

在四年级以前的学习中，学生会不自觉地形成一种整体影响——“加法、乘法运算能使运算结果变得越来越大，减法、除法则是相反”。当引进小数与分数后，这种整体认识会被纯小数、纯分数打破。我们需要启发学生去挖掘数的内部结构以及数与数之间的关系。当学生把握这些数的内部结构与关系后，会把15× 这个算式理解为“15的五分之一”，这样就会通过15÷5，快速得到答案。而19÷0．5这个算式，则口算的结果就是19×2=38。

学生在运算中正确理解和使用补偿、变换规则是非常重要的。在使用补偿、变换规则的基本原理是和、差、积、商的变化规律。如果给一个加数加上多少，再给另一个加数减去多 少，和是不变的，如43+57=50+50。这种变化规律在减、乘、除也有各自的特性，如，73-18=75-20，12 ×16=25×8，0．56÷0．08=56÷8。另外，我们要注意数值大小对加减、乘除运算的影响。如千位数加上一个十位数，结果不会发生大的变化。但千位数乘十位却会得到一个万位数或十万位数。千位数除以十位数会得到一个百位数。当涉及分数、小数更要注意，像0．01这样小的数，加减运算中可以忽略，但若是乘除法时则大不一样。如789．64+0．01，789．6÷0．0l。

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