优化和均衡——系统理论的重要问题

陈光亚

（中国科学院 系统科学研究所，北京 100190）

对于一个系统，人们总是希望系统的结构及运行处于一个优化和均衡或和谐的状态.因此，系统的优化和均衡问题就成为系统科学和系统工程研究的一个重要问题.钱学森先生指出：系统科学是从事物的部分和整体，局部与全局及层次关系来研究客观世界，系统是由一些相互关联、相互作用、相互制约的组成部分所构成的具有某种功能的整体［1－2］.系统的优化和均衡是“某种功能”的重要组成部分.钱学森先生的系统科学思想和系统工程方法强调“整体论与还原论相结合”及“从定性到定量综合集成方法”，于是，系统的优化和均衡问题，可以描述成一个三元组（S，F，P）.其中S表示一个系统，F表示判断系统状况的指标，F通常是以目标函数形式表示，P表示比较目标函数“值”大小的准则，也称为偏好.目标函数“值”的大小对应于系统状态的好坏.例如，S是由多项式不等式描述的系统，F是一个线性或非线性函数，P是自然的数值大小的偏好，那么（S，F，P）就刻画了一个运筹学中的线性或非线性规划问题.如果S是由一个微分方程描述的系统，F是一个泛函目标函数，则（S，F，P）刻画了一个最优控制问题.

约一半Nobel经济学奖获得者的获奖工作是与优化和均衡有关.他们从宏观和微观的角度对经济系统和金融系统中的优化和均衡问题进行了研究，并取得了开创性的成果.例如康托诺维奇（Kantorovich）对生产计划的研究，这实际上是一个运筹学中的线性规划问题，列昂惕夫（Leontiev）的投入产出法实际上是一个资源配置的优化平衡问题.更直接的研究显现在Arrow和Debreu对数理经济的一般均衡理论的研究以及Nash对博弈论中的均衡点存在性方面的开创性工作.Myerson获奖的主要工作——最优机制设计，本质上是研究经济管理的优化和均衡问题.马科维茨（Markowitz）以著名的投资决策理论获得诺尔贝经济学奖，投资决策问题实质上也是一个优化问题.还可以列出许多诺贝尔经济学奖获得者的获奖工作，这些工作利用优化和均衡的思想方法对经济、金融以及重要的社会问题进行研究，获得了开创性的应用成果.

本文从钱学森系统科学思想出发，将整体论和还原论相结合，基于定性到定量的综合集成方法，对运筹学及非线性分析中的一些问题进行回顾和重新思考，以期对今后的研究工作提供一些启示.

1 优化和均衡

1.1 最优解概念的扩充

“最优解”概念的最自然的理解是在一组实数中，按照实数的自然大小关系，选取最大或最小的数（相对于整体极值）或选取某些极大或极小数 （相对于相对极值）.单个数值目标函数的优化问题（如线性规划、非线性规划等）是研究最优解的典型的数学模型.

在经济、金融、管理决策等问题中，人们往往遇到多个判别指标的问题.例如，我国在1958年大跃进时期提出了“多、快、好、省”的方针，在运输和旅游中要考虑运费、时间、舒适程度以及安全等.比较两组数之间的“大小”或“好坏”相较于单纯实数之间的大小更为复杂，这就引出了“偏好”和“Pareto最优解”的概念［3］.

1.2 最优解和Pareto最优解的一致性

在一组实数中，按照实数自然大小顺序找出一个最大数或最小数，那么这个数称为“最大解”或“最小解”.在数值数学规划问题中，理解为这个目标函数值在容许集合中的原像称为数学规划的最优解.换一种说法，一组数的最大数（或最小数）等价于在此组数中找不到另外一个数比它更大（或更小）.因此，“最大”或“最小”等价于“找不到更大”或“找不到更小”，后者正显示了所谓的“Pareto”最优的本质.研究Pareto最优性是诸如多目标优化决策，合作博弈，数理经济中的一般均衡等问题所研究的对象.于是，在整体论和还原论相结合的视角下，所有这些问题本质上都是一致的，都在研究Pareto最优解，不同之处在于它们利用的偏好不一样.

如果将和谐理解为均衡，和谐社会理解为均衡社会，那么，人们可以说和谐社会就是一个最优的社会形态，不过这里所谓的“最优”应看成是Pareto最优.不同的“偏好”决定了不同的和谐形态.

1.3 变分不等式是优化和均衡之间的桥梁

运筹学和系统工程工作者应用变分不等式是从研究非线性规划问题开始的.在一个凸容许集上求一个可微凸函数的最优解等价于去解一个变分不等式.但是，如果并不知道质点运动轨迹的表达式，只知道质点运动的速度变化规律，求此质点的稳定点（最优点）的优化问题就不能构造成在容许集合上求函数的极值问题，但能将问题描述成一个变分不等式问题来求解.这显示，变分不等式模型是独立的数学模型，它并不依赖于求函数极值的数学规划问题.近代的研究表明，交通网络的平衡问题、金融网络的平衡问题、数量经济中的均衡问题等均可转化为求解一个等价的变分不等式问题.因此，变分不等式既体现了优化的特性又显现了均衡的本质.

2 关于“复杂性”问题的某些思考

当前复杂性问题已成为世界研究的热点课题.但是据本人所知，对复杂性概念还没有一个公认的统一的定义.对复杂性的研究还是需要从定性到定量的综合集成的方法，还是需要走某些学科共同所走的途径.也许，复杂性概念类似于经济和金融学中的偏好、统计和概率理论中的随机性、模糊理论中的模糊性概念.对于“偏好”的好与坏，诺贝尔经济学奖获得者Debreu在他的名著《Theory of Value》中用了整个章节来研究效用函数［4－5］，使得偏好的“大小”与一个数值函数的大小是同构关系.处理初等概率问题是很困难的，基本上只能利用排列组合方法.现代概率和统计理论引入了随机变量及分布函数概念之后，概率和统计问题就能够利用数学理论中的实变函数理论和测度论等工具进行严格处理.模糊问题也是难以把握和处理的问题，当引入了隶属函数等概念后，模糊问题就可以利用数学工具加以解决.复杂性问题也许同样可以通过从定性到定量的途径来引入数学工具进行研究.

［1］钱学森.创建系统学［M］.太原：山西科技出版社，2001.

［2］钱学森.再谈系统科学体系［J］.系统工程理论与实践，1981，1（1）：2－4.

［3］CHEN G Y，HUANG X X，YANG X Q.Vector Opti－mization：Set－Valued and Variational Analysis［M］.Berlin：Springer，2005.

［4］DEBREU G.Theory of Value［M］.New York：Wiley，1959.

［5］ARROW K J，DEBREU G.Existence of an equilibrium for a competitive economy［J］.Econometrica，1954，22（3）：265－290.