感觉判断矩阵的一致性改进

沈继红，付肖燕，赵玉新

(1.哈尔滨工程大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150001;2.哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

层次分析法［1-2］(analytic hierarchy process，AHP)是由美国著名的运筹学家T.L.Saaty在20世纪70年代初提出的综合定性与定量分析、对多目标多准则的系统进行分析评价的一种方法.近些年，利用层次分析法中的判断矩阵求取指标权重的应用十分广泛.层次分析法中采用两两比较建立判断矩阵，是其很有特色的方面.而现存的标度方法较多，且各有优缺点.尤其是应用较多的1～9标度法存在严重不妥［3-6］，文献［3］指出采用1～9标度法可能导致评价结论和一致性检验的错误.1990年舒康等根据由德国生理学家韦伯提出的韦伯－费西纳定理提出了指数标度法［7］.而且现有的若干新标度实际上是指数标度的特例［8］.指数标度符合实际、具有传递性、计算简单，然而在实际应用中却未得到广泛推广，这是因为指数标度还存在一些尚未解决的问题，如:如何确定重要性比率参数，如何将数字等级与重要性程度对应得更加合理等［8］.本文将探讨指数标度存在的问题，并针对这些问题提出一些建议.

判断矩阵的一致性分析是层次分析法的基本内容之一，若判断矩阵不具有一致性或者一致性较差，则将由判断矩阵导出的权重作为决策依据的可靠性得不到保证.判断矩阵一致性研究得到了广泛关注［9-12］，但针对指数标度感觉判断矩阵的一致性研究相对较少.本文根据感觉判断矩阵与正互反判断矩阵的关系，提出了一个构造完全一致的感觉判断矩阵及根据它计算指标权重的算法，并通过一个算例演示了提出的算法.

1 指数标度基础

定义1 感觉判断，即把决策者关于因素ci比cj重要性程度的主观感觉判断等差距地分为若干个等级，如“同样重要”、“稍重要”、“明显重要”、“很重要”、“极端重要”等，分别以

cij=0，1，2，… (i，j=1，2，3，…，n)

表示.这样cij=l(l=0，1，2，…)，表示因素ci比cj高l等级，称cij为感觉判断.而且cji=－cij，即当因素ci比cj高i等级时，则因素cj比ci低l等级.

由韦伯－费希纳定律，当主观感觉等差递增时，客观差别是等比递增的.因而可设相邻两级客观重要性比率为α(α＞1)，于是ci比cj客观重要性比率为

式中:ωi、ωj分别为ci、cj的客观重要性程度.

定义2 称αcij为ci对cj的客观差别判断.

定义3 由感觉判断cij组成的矩阵称为感觉判断矩阵，记为C=(cij)n×n.

定义4 由客观差别判断αcij组成的矩阵称为客观差别判断矩阵，记为A=(aij)n×n=(αcij)n×n.

引理1 由α和感觉判断矩阵构造的客观差别判断矩阵仍为正互反矩阵［7］.

证明 由cji=－cij，有

由此可得A相对于T.L.Saaty所建立的比较判断矩阵，仍为正互反矩阵.

根据指数标度法得到的客观差别判断矩阵仍为正互反矩阵，则基于指数标度法的层次分析法计算权重下面的计算步骤与基于1～9标度构造的正互反判断矩阵相同.

2 存在问题的分析及建议

文献［3］中指出指数标度法符合2条合理定义判断尺度的准则:1)合理性准则;2)传递性准则，然而它在实际应用中却未得到广泛推广，这是因为指数标度还存在一些尚未解决的问题.

2.1 重要性程度等级的扩展

在人的心理区分极限方面，心理学与实践都证明人们普遍接受人的心理区分极限是9级，但在实际比较中只有9级的差距并不能完全客观地对复杂世界进行描述，而且人们按某准则选择了标度后，应用AHP在构建判断矩阵时，必须对所有的方案进行两两比较，对比较结果大于、等于最高级别的情况，只能统一用与最高级别相对应的标度值表示.这是一种固化的标度对应方式.显然这种对应是不合理的.必须在人们普遍适应的基础上对标度的适应范围进行合理的扩展，才能客观地扩大其适用范围，针对此问题本文提出如下建议:

1)决策者将指标排列好，不需要对所有指标进行两两比较，只需对相邻两指标进行比较.当然指标按重要顺序排列更好，一般来说，相邻两指标间的相对差距不会很大，这样就大大地减少了人们对标度间的描述难度，有条件对决策者的判断做出更精确的刻画.在本文中指标序排列不是必须的.而且相邻两指标重要性的比较不受所给指标体系最高级别的限制，即上面所提到的感觉判断值cij的大小不受所给标度的最高级别的限制.

2)根据所给出的相邻两两指标的感觉判断向量，构造出完全一致的感觉判断矩阵.

2.2 重要性程度语言描述与数字等级的对应

如上所述用固化的标度进行赋值无助于对问题的确切描述.那么在重要性程度数字等级可以无限扩展的情况下，将重要性程度的语言描述与数字等级相对应也是一个难点.

现在国内对重要性程度判断比较流行的语言描述有“相同”、“稍重要”、“重要”、“明显重要”、“很重要”、“非常重要”、“极端重要”等.根据文献［8］的描述，它选取重要性程度数字等级与语言描述对应如表1.

表1 重要性程度语言描述与数字等级的对应Table 1 Correspondence of language description and digital level for the degree of importance

但是如前所述，数字等级标度的最高级别已不受限制，那么极端重要的赋值可能就不是8，这里根据表1仍规定“同等重要”赋值为0，“稍微重要”赋值为1.那么对于大于1的，专家可以根据个人知识及经验以及“同等重要”与“稍微重要”一级之差的重要性比值α来确定2个属性之间的重要性相差几个等级，那么他们的重要性之差就赋值为几.

2.3 重要性比率参数α的确定

使用指数标度法建立各个判断矩阵，其结果随着α取值的不同而不同.那么α如何选值才能使效果最佳?在文献［8］中，提及了2种确定参数α的方式.

方式1:经问卷调查，可取

方式2:(人为规定)假设因素ci比cj相比极端重要，其重要性程度之比为m，则由αk=m可得参数

然而，本文中对k的大小没有限制，显然第2种确定方式不适合本文.而且方式1的调查也是在k固定的情况下进行的，所以这2种方式对于本文都不可取.

从文献［13］中的描述看出，当α取值为1.01～1.5时，都是符合实际的.而且当α=1、2时2个方案的重要性区分度最大.根据文献［13］中的图形分析，可指定α取值在1.1～1.4.α值的具体大小再根据实际情况确定.

3 感觉判断矩阵的一致性改进

定义5 判断思维完全一致，即当感觉判断满足:

时，称判断思维是完全一致的.

引理2 判断思维完全一致与T.L.Saaty的正互反判断矩阵完全一致性定义等价［7］.

证明 正互反判断矩阵完全一致性:如果正互反判断矩阵A满足aijajk=aik，则A是完全一致的.那么根据aij=αcij，则

当客观差别判断矩阵完全一致时，可取其任一列，对其进行归一化后的列向量即为属性权重向量.

如引理1所述，由感觉判断矩阵得到的客观差别判断矩阵是正互反判断矩阵，且有客观差别判断矩阵的完全一致性和判断思维完全一致是等价的.当感觉判断矩阵维数较大时，即判断中涉及到的属性较多时，由于人思维的差异性，感觉判断矩阵很难满足完全一致性，所以需要对初始的感觉判断矩阵进行一致性改进.

定理1 当感觉判断矩阵完全一致时，有

即当感觉判断矩阵完全一致时，感觉判断矩阵的各个元素可由前后两因素进行重要性比较得到的n－1个数据构造得到.

证明 如果正互反判断矩阵满足完全一致性，则有

再由引理2及感觉判断矩阵自身的性质，可以得出

这就是2.1节中提及的构造完全一致的感觉判断矩阵的方法.

根据定理1，可以由初始感觉判断矩阵的斜对角线上元素构造完全一致的感觉判断矩阵，但是可能由于初始斜对角元素的微小偏差使得构造的完全一致的感觉判断矩阵偏离主观判断太大，因此需要对构造的完全一致的感觉判断矩阵进行审核调整，即与初始感觉判断矩阵进行比较，使它不至于偏离初始主观判断太远，而且是偏离越小越好，即转化为下面的数学规划问题:

其中，目标函数表示使由X构造的完全一致矩阵与变换后的初始感觉判断矩阵差距尽量小，约束条件指由X构造的完全一致矩阵的各个元素值与初始感觉判断矩阵各元素差不要超过0.5.而且X的初始值X0=(ci(i+1))1×(n－1)(i=1，2，…，n－1).

综上，得出感觉判断矩阵一致性改进及基于指数标度法计算权重的算法:

1)由专家给出初始感觉判断矩阵C.

2)将前后两因素重要性比较值ci(i+1)(i=1，2，…，n－1)赋值给X0=(x0m)1×(n－1).

3)根据指数标度问题1的建议，以防人们受心理等级最高为9的限制，首先对初始感觉判断矩阵做一转换:若，置，得到C'.

4)将C'代入数学规划问题(2).

5)令上述数学规划问题的初始可行解为X0，解上述规划问题求出最优的X*.

6)依定理1得到完全一致感觉判断矩阵C*.

7)确定重要性比率α，将完全一致感觉判断矩阵C*根据式(1)转化为客观差别判断矩阵.

8)取客观差别判断矩阵任一列，对其进行归一化后的向量即为属性权重向量.

4 算法演示举例

假设某一评判系统，指标有4个，分别为c1、c2、c3、c4，要求计算出这4个指标的权重.那么采用本文提出的基于指数标度的AHP权重计算算法.

1)专家给出的4个指标重要性比较的初始感觉判断矩阵:

2)令

4)将C'代入式(2)为

5)令X0=(2，2，－2)，利用Matlab中现有的解二次规划的命令 quadprog解此规划问题，得出X*=(2，1.5，－2).

6)根据定理1构造完全一致的感觉判断矩阵:

7)选择重要性比率参数α=1.3，并根据式(1)建立完全一致的客观判断矩阵A:

8)归一化A的最后一列即是所求的指标权重ω:

5 结束语

对重要性等级进行的合理扩展以及重要性比率选取范围的确定有利于指数标度法在实际应用中的推广;提出的构造完全一致的感觉判断矩阵及根据它计算指标权重的算法，容易理解而且计算简单，是个实用的算法;其他一致性改进算法最终得到的结果只是近似一致，而此算法得到的是完全一致的判断矩阵;最后算例演示说明了提出的算法具有可行性.然而针对指数标度的研究还需要进展下去，尤其在重要性等级扩展方面.

［1］许树柏.层次分析法原理［M］.天津:天津大学出版社，1988:1-81.

XU Shubai.The analytic hierarchy process theory［M］.Tianjin:Tianjin University Press，1988:1-81.

［2］王莲芬，许树柏.层次分析法引论［M］.北京:中国人民大学出版社，1989:1-148.

WANG Lianfen，XU Shubai.Introduction of the analytic hierarchy process［M］.Beijing:Renmin University of China Press，1989:1-148.

［3］陈迁，王浣尘.AHP方法判断尺度的合理定义［J］.系统工程，1996(5):19-20.

CHEN Qian，WANG Huanchen.Proper definition of criteria in AHP［J］.System Engineering，1996(5):19-20.

［4］刘树林，邱菀华，张瑞清.再论 AHP中的指数标度法［J］.系统工程理论与实践，1995，15(10):78-80.

LIU Shulin，QIU Wanhua，ZHANG Ruiqing.Further discussion on the index scale method in AHP［J］.Systems Engineering—Theory＆Practice，1995，15(10):78-80.

［5］徐泽水.关于层次分析中几种标度的拟评估［J］.系统工程理论与实践，2000，20(7):58-62.

XU Zeshui.A simulation-based evaluation of several scales in the analytic hierarchy process［J］.Systems Engineering—Theory＆Practice，2000，20(7):58-62.

［6］汪浩，马达.层次分析标度评价与新标度法［J］.系统工程理论与实践，1993，13(5):24-26.

WANG Hao，MA Da.Scale evaluation and new scale methods［J］.Systems Engineering—Theory＆Practice，1993， 13(5):24-26.

［7］舒康，梁镇韩.AHP中的指数标度法［J］.系统工程理论与实践，1990，10(1):6-8.

SHU Kang，LIANG Zhenhan.The index scale method in AHP［J］.Systems Engineering—Theory＆Practice，1990，10(1):6-8.

［8］吕跃进，张维.指数标度在AHP标度系统中的重要作用［J］.系统工程学报，2003，18(5):452-456.

LÜ Yuejin，ZHANG Wei.Kernel function of index scale in AHP scale system［J］.Journal of System Engineering，2003，18(5):452-456.

［9］朱建军，刘士新，王梦光.一种新的改进不一致判断矩阵的方法［J］.系统工程理论与实践，2003，23(11): 95-98.

ZHU Jianjun，LIU Shixin，WANG Mengguang.A new algorithm to improve the inconsistent comparison matrix［J］.Systems Engineering—Theory＆Practice，2003，23(11): 95-98.

［10］KWIESIELEWICZ M，UDEN E.Inconsistent and contradictory judgments in pairwise comparison method in the AHP［J］.Computers＆Operations Research，2004，31 (5):713-719.

［11］朱建军，王梦光，刘士新.AHP判断矩阵一致性改进的若干问题研究［J］.系统工程理论与实践，2007，27 (1):19-22.

ZHU Jianjun，WANG Mengguang，LIU Shixin.Research on consistency modification problem of comparison matrix in the analytical hierarchy process［J］.Systems Engineering—Theory＆Practice，2007，27(1):19-22.

［12］王学军.群体决策中若干问题的理论与方法研究［D］.沈阳:东北大学，2005:21-33.

WANG Xuejun.Study of theory and method on some problems in group decision-making［D］.Shenyang:Northeastern University，2005:21-33.

［13］马小闳.指数标度中q的取值对AHP应用结果的影响［J］.株洲工学院学报，2006，20(2):17-21.

MA Xiaohong.The impacts of the value"q"from the ratio scale on the AHP evaluation［J］.Journal of Zhuzhou Engineering College，2006，20(2):17-21.