＊ 局部 M SSP-群的结构

郭鹏飞,王俊新

(1.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港 222006;2.上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海 200072;3.山西财经大学数学系,山西太原 030031)

＊局部M SSP-群的结构

郭鹏飞1,2,王俊新3

(1.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港 222006;2.上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海 200072;3.山西财经大学数学系,山西太原 030031)

若有限群G的每个Sylow子群的极大子群都在G中s-半置换,则称G为MSSP-群.文章给出群G的每个极大子群是MSSP-群,但G本身不是MSSP-群的分类.

s-半置换子群;超可解群;内幂零群;内超可解群

本文考虑的群均为有限群,所用群论术语、符号都是规范的,可参阅文献[1].

群G的两个子群H和K若满足H K=KH,则称H和K是可置换的.Kegel[2]称群G的子群H为G的s-置换子群(或s-拟正规子群),若H与G的每个Sylow子群可置换.作为s-置换性的推广,陈重穆[3]引入如下定义:群G的子群H被称为G的s-半置换子群,若H与G的每个满足条件(p,|H|)=1的Sylow子群可置换.

群论研究中最具有意义的工作之一就是确定具有某种性质的群的结构,并且这方面已有许多有意义的研究成果,这为群论的发展起到了强有力的推动作用.例如:Schmidt[4]确定出内幂零群的结构,Doerk[5]确定出内超可解群的结构.关于这方面的进一步研究成果可参阅文[6-8].

本文中,我们称群G为M SSP-群,若G的每个Sylow子群的极大子群都是G的s-半置换子群.若群G的每个极大子群是M SSP-群,但G本身不是M SSP-群,则称群G为局部M SSP-群,并且给出了局部M SSP-群的分类.

1 预备知识

引理1.1[10,定理7.47]若群G是一个M SSP-群,则G为超可解群.

引理1.2[5]设群G为内超可解群,则

(1)G仅有一个正规的Sylowp-子群P;

(2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群,且P/Φ(P)非循环群;

(3)若p≠2,则P的方次数是p;

(4)若P为非交换群且p=2,则P的方次数是4.

引理1.3[5]若群G包含4个具有两两互素指数的超可解子群,则G为超可解群.

引理1.4[9,性质1]设H是群G的s-半置换子群,且H≤K≤G,则H是K的s-半置换子群.

引理1.5[11,Theorem2.8]设群G为内幂零群,则G为超可解群的充要条件是G的正规Sylowp-子群是循环群.

引理1.6[12,Lemma5]设群G=P〈x〉,P是G的正规Sylowp-子群且x是一个q-元素.若G的每个Sylow子群的极大子群都是G的正规子群,则x诱导出P/Φ(P)上的一个幂自同构.

引理1.7[13]设{P1,P2,…,Pr}为可解群G的一个Sylow系,则下列两个结论等价:

(a)对于i≠j,Pi的每个子群与Pj的每个子群可置换;

(b)设G∞是G的幂零剩余,则G∞是G的交换 Hall子群且G的每个元素诱导出G∞上的一个幂自同构.

2 主要结果

定理2.1 设群G为局部M SSP-群,则G必为下列三种情形之一:

(I)G是超可解群;

(II)G是内幂零群,其中G的正规Sylowp-子群非循环;

(III)G是内超可解群使得G=PQ,其中P是G的正规Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正规Sylowq-子群,p＞q,yq诱导出P/Φ(P)上的一个幂自同构,y诱导出Φ(P)上的一个幂自同构,且至少有一个幂自同构是非平凡的.

证明 若G非超可解群,由于G的每个极大子群都是M SSP-群,利用引理1.1,G为内超可解群.由引理1.2可得,G仅有一个正规Sylowp-子群P.

现证π(G)=2.若π(G)＞3,由引理1.3可知,G为超可解群,与假设矛盾.因此设π(G)=3且{P,Q,R}是G的一个Sylow系使得P◁—G.显然,PQ或者是G的一个极大子群或者是G的一个极大子群的 Hall子群.若PQ是G的一个极大子群,由假设可知,PQ是一个M SSP-群.若PQ是G的一个极大子群的 Hall子群,由引理1.4可知,PQ是一个M SSP-群.因此,对于P的极大子群P1而言,P1是PQ的s-半置换子群.由P1在PQ中次正规可得,P1次正规于P1Q,进而P1正规于P1Q.类似地,P1正规于P1R.这时P1正规于G=〈P,Q,R〉,这与引理1.2矛盾.因此,π(G)=2且可设G=PQ,其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),P◁—G.

若Q有两个极大子群Q1和Q2,则PQ1和PQ2都是G的极大子群.类似于上面的讨论,对于P的每个极大子群P2而言,P2正规于G,这与引理1.2矛盾,因此Q是循环群且设Q=〈y〉.

现在断言:若Q≤M＜-G,则Φ(P)是M的一个 Sylow子群.记M=P3Q,其中P3是M的一个 Sylow子群.由于[P3,Q]≤P∩P3Q=P3,因此NG(P3)≥P3Q=M.注意到N P(P3)＞P3,因此P3是G的正规子群.由引理1.2,我们就有P3≤Φ(P).再由M的极大性,我们得出P3=Φ(P)是M的一个Sylow子群.

显然,G有极大子群P〈yq〉g和Φ(P)Qg,其中g∈G.若p＜q,则G是内幂零群.由引理1.5可知,G的正规Sylow子群P非循环,因此G是情形(II).

现设p＞q,若G为内幂零群,则G属于情形(II),因此可设G非内幂零群.因为P的每个极大子群既是P〈yq〉g的s-半置换子群又是P〈yq〉g的次正规子群,所以P的每个极大子群是P〈yq〉g的正规子群.类似地,Φ(P)的每个极大子群是Φ(P)Qg的正规子群.利用引理1.6,yq诱导出P/Φ(P)上的一个幂自同构,y诱导出Φ(P)上的一个幂自同构且至少有一个幂自同构是非平凡的,因此G是情形(III).

推论2.1 非超可解群G是局部M SSP-群的充要条件是G属于下列两种情形之一:

(I)G是内幂零群,其中G的正规Sylowp-子群非循环;

(II)G是内超可解群使得G=PQ,其中P是G的正规Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正规Sylowq-子群,p＞q,yq诱导出P/Φ(P)上的一个幂自同构,y诱导出Φ(P)上的一个幂自同构,且至少有一个幂自同构是非平凡的.

证明 显然,我们只需证明其充分性.

若G是情形(I),则由引理1.5可知,G非超可解群.由引理1.1可知,G非M SSP-群,因此G为局部MSSP-群.

若G是情形(II),由引理1.1可知,G非M SSP-群.类似于定理2.1的证明,G有极大子群P〈yq〉g和Φ(P)Qg,其中g∈G.由于y诱导出Φ(P)上的一个幂自同构且yq诱导出P/Φ(P)上的一个幂自同构,容易证明G的每个极大子群都是M SSP-群,这时G为局部M SSP-群.

推论2.2 非超可解群G是内M SSP-群(非M SSP-群但其每个真子群都是M SSP-群)的充要条件是G属于下列两种情形之一:

(I)G是内幂零群,其中G的正规Sylowp-子群非循环;

(II)G是内超可解群使得G=PQ,其中P是G的初等交换正规 Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正规Sylowq-子群,p＞q,且yq诱导出P上的一个非平凡幂自同构.

证明 充分性是显然的.

只需设G是一个内M SSP-群且G是推论2.1中情形(II),容易证明P的每个极大子群在P〈yq〉g中正规.归纳可知,P的每个子群都被yq正规化.利用引理1.7,P是初等交换群且yq诱导出P上的一个非平凡幂自同构.

致谢 非常感谢这位认真负责的匿名审稿人所提出的宝贵建议,这些建议使文章增色不少.

[1] Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups[M].New York-Heidelberg-Berlin:Sp ringer-Verlag,1980.

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[4] Schmidt O J.Über Gruppen,Deren Sàmtliche Teiler Spezielle Gruppen Sind[J].Mat Sbornik,1924,31:366-372.

[5] Doerk K.Minimal Nicht Überauflösbare,Endliche Gruppen[J].Math Z,1966,91:198-205.

[6] Asaad M.On Minimal Subgroups of Finite Groups[J].Glasgow Math J,2009,51:359-366.

[7] Li SR.On Minimal Non-PE-groups[J].J Pure and Appl Alg,1998,132:149-158.

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[9] 张勤海,王丽芳.s-半置换子群对群构造的影响[J].数学学报,2005,48:81-88.

[10] 陈重穆.内外∑-群与极小非∑-群[M].重庆:西南师范大学出版社,1988.

[11] Xu M Y,Zhang Q H.On Conjugate-permutable Subgroups of a Finite Group[J].A lg Colloq,2005,12:669-676.

[12] Walls G.Groups with Maximal Subgroups of Sylow Subgroups Normal[J].Israel J Math,1982,43:166-168.

[13] Huppert B.Zur Sylow struktur Auflösbarer Gruppen[J].A rch M ath,1961,12:161-169.

The Structure of Partial MSSP-Groups

GUO Peng-fei1,2,WANG Jun-xin3
(1.Department of Mathematics,Lianyungang Teachers College,Lianyungang222006,China;
2.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai200072,China;
3.Department of Mathematics,Shanxi University of Finance and Economics,Taiyuan030031,China)

A finite groupGis called anMSSP-group if allmaximal subgroups of the Sylow subgroups ofGares-semipermutable inG.We give a classification of these group s which are notMSSP-groups but whose maximal subgroups are allMSSP-groups.

s-semiperm utable subgroup s;supersolvable group s;minimal non-nilpo tent group s;minimal nonsupersolvable groups

O152.1

A

0253-2395(2011)01-0029-03＊

2010-09-01;

2010-10-10

国家自然科学基金(11071155);山西省国土资源厅专项基金(0905910)

郭鹏飞(1972-),男,山西武乡人,副教授,博士,主要研究领域为有限群论.E-mail:guopf999@163.com