利用随机共振解调微弱MFSK信号✴

魏世朋，张天骐，余 熙，高春霞

（重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆400065）

利用随机共振解调微弱MFSK信号✴

魏世朋，张天骐，余 熙，高春霞

（重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆400065）

采用随机共振解调微弱MFSK信号解决了传统解调方法误码率高的问题。根据大噪声环境下信号能借助噪声能量发生随机共振这一理论，先将微弱MFSK信号通过双稳态随机共振系统以提高其信噪比，对随机共振系统的输出信号用FFT来区分每段信号的载波频率，最后依据判决准则解调MFSK信号。当信噪比较高时，可向信号中人为添加白噪声来使之适用于该解调方法。MATLAB仿真结果表明，该方法能成功解调信噪比最低为-23 dB的2FSK信号和-25 dB的8FSK信号，而这是传统相干解调方法所无法达到的。

随机共振；频率压缩；微弱MFSK信号；解调；数据采集窗

1 引言

多进制频移键控（M-ary Frequency-shift Keying，MFSK）是信息传输中使用较早的一种调制方式，它实现起来较容易，抗噪声与抗衰减的能力较好，在中低速率数据传输中得到了广泛应用。MFSK信号的传统解调方法有相干解调、非相干解调和过零检测解调［1］，但它们对信号的信噪比要求都比较高，所以这些方法对微弱MFSK信号的解调无能为力。

随机共振检测技术是近年来发展起来的一种新的信号处理技术，随机共振广泛用于诸如双稳或多稳非线性系统［2，3］、激励系统［4］、阈值系统［5，6］、生物系统［7］等。已有的随机共振绝热近似和线性响应理论仅适用于小参数信号处理，文献［8］通过二次采样频率变换思想，实现了大参数信号的随机共振。但是当前随机共振的应用领域仅仅还是限于周期信号的频率检测，对于非周期信号检测及通信信号解调的应用还未有相关报道。

本文从随机共振不是消除噪声而是充分利用噪声来增强微弱信号这一思想出发，提出了一种微弱MFSK信号的新的解调方法，相比于传统解调方法，本方法能解调较低信噪比的MFSK信号，同时也省去了信号的同步设备。

2 随机共振检测微弱信号的原理

2．1 随机共振原理

所谓随机共振，就是把混在一起的信号（周期力）和噪声（随机力）作为待测信号，加到双稳态的非线性系统之中，在非线性系统本身、外部随机力和外加周期力三者的共同作用下，系统的输出为一种与外加周期力相同频率但更为强烈的周期振动，在此过程中，噪声能量一部分转化为信号的能量，从而可以改善信号的信噪比［9］。

在双稳态或多稳态的非线性系统中，发生随机共振需要双稳态非线性系统、待测信号和噪声3个基本条件。随机共振系统的模型有很多种，最简单的为朗之万方程［10］，其模型为

式中，a、b为系统的势阱参数；Asin 2πf0( ) t为真实信号，A为其幅值，f0为其频率；Asin 2πf0( ) t+ n( t)为待测信号；n(t)为零均值高斯白噪声，其自相关函数为〈n(t) n(t′)〉=2Dδ( t-t′)，D为高斯白噪声的强度。

式（1）对应的势函数为［11］

在本文中，我们研究亚阈值的双稳态随机共振，即真实信号的幅值A小于阈值Ac（Ac=为系统双稳态临界值）。

若待测信号存在时，系统输出状态的变化描述如下：

第一种情况：噪声强度不够。这时，真实信号

Asin( 2π0ft)在噪声n(t)的协助下，其合成信号的幅值A′依然小于阈值Ac，质点只能在某一个势阱内运动，系统的输出信号表现为与输入信号同频的微弱信号，其幅度并不会被放大。

2．2 双稳态随机共振的频率特性

双稳态系统并不是对任意频率的信号都适用，下面我们研究它的适用范围。双稳态系统输出信号的功率谱S（f）由两部分组成［12］：第一，周期输入信号引起的S1（f）；第二，噪声引起的S2（f），它具有Lorentz分布的形式。它们的数学表达式如下：

式中，各参数含义和上文一样，若A=0.3 V、f0= 0.01 Hz、D=0.31、a=1，b=1，则S2（f）的分布如图1所示。

由图1可看到，噪声功率谱的谱能量集中于低频区域，所以噪声的能量只能转移给低频的周期信号。这就要求待测信号的频率不能太高，否则将不会发生随机共振效应［13，14］。

2．3 频率压缩与恢复

为了使随机共振能用于高频信号，可以采用将信号频率先压缩再恢复的方法［15］，如图2所示。离散信号中代表信号频率的是采样点之间的时间间隔，只要改变采样点之间的时间间隔就可将信号的频率放大或压缩。

3 利用随机共振解调MFSK信号

3．1 MFSK信号

多进制频移键控（MFSK）基本上是二进制频移键控（2FSK）的直接推广，它是用多个不同的载波频率代表多种数字信息。在MFSK中，M种发送符号可表达为

式中，0≤t≤Ts；i=0，1，…，M-1；Es为单位符号的信号能量；fi为载波频率，有M种取值。通常令载波频率，n为正整数，此时，M种发送信号互相正交，即：

以8FSK为例，它可以发送8种符号，每符号有3 bit，分别为000、001、010、011、100、101、110和111，对应8种电平：0、1、2、3、4、5、6、7，每种电平对应一种载波。8FSK信号的时域波形如图3所示。

3．2 MFSK信号的随机共振解调

基于随机共振解调微弱MFSK信号的框图如图4所示。

接收端MFSK信号的表达式为

式中，C表示MFSK载波信号的幅度，() nt表示高斯白噪声，f1，f2，…，fM为MFSK信号的载波频率，an为MFSK信号的M个电平。

首先要对高频的MFSK信号进行频率压缩。根据载波频率的大小和双稳态系统对信号频率的要求范围，确定一个频率压缩比R，进而确定第二次采样频率fLS，用这个采样频率再确定采样步长TLS，对MFSK信号进行第二次采样，将其频率压缩至低频范围内。经过第二次采样后MFSK信号的M个载波频率f1，f2，…，fM分别被压缩至f′1，f′2，…，f′M，此时MFSK信号的数学表达式为

式中，S′MFSK(t)为频率压缩后的MFSK信号，n′(t)为频率压缩后的噪声。

其次调整双稳态随机共振系统的参数a和b，使其阈值Ac略大于载波信号的幅值C，然后将S′MFSK(t)作为待测信号加入到随机共振系统之中，如式（10）：

如果a、b取值合适，系统便会发生随机共振效应，系统输出的MFSK信号其信噪比将会被提高，甚至可以大致恢复出被噪声淹没的载波信号波形。

当M=2时，若基带传输码为“0”，则待测信号为

在噪声的协同作用下，合成后2FSK信号的幅值C′将大于双稳态临界值Bc，系统的输出状态会在两势阱和之间作频率为f′1的周期性跃迁。若基带传输码为“1”，则待测信号如式（12）所示：

同理，当M=8，系统的输出状态将在两个势阱之间作频率为f′1、f′2、f′3、f′4、f′5、f′6、f′7、f′8的周期性跃迁。

MFSK信号经过随机共振系统以后，系统输出的是低频信号，这就需要对信号的频率进行恢复。根据之前确定的频率压缩比R确定第三次采样步长THS，对随机共振系统的输出信号进行第三次采样，将其进行频率恢复，其过程可看作是频率压缩的逆过程。经过这一步以后，系统的输出信号便是高频MFSK信号，相比于接收到的MFSK信号，此刻信号的信噪比被提高了，即信号得到了改善。

接下来是对信号的解调。我们选用数据窗来处理信号，数据窗的宽度很窄，每次滑动的长度也非常小。让数据窗连续滑动采集信号，数据窗每采集一次数据都要对窗内信号作一次FFT，功率谱图中最高谱峰将出现在载波频率fM附近，用这个频率值作为这一小段信号的输出幅值。由于不同数字信息对应的载波频率不同，所以系统输出信号的幅值大小将会和数字信息相关联。

另外，系统的输出信号难免会出现“毛刺”现象，所以我们选用中值滤波器来滤除这些毛刺（孤立噪声），使输出信号平滑。

最后就是信号的判决恢复。FSK信号由于受信道环境的干扰，所以载波频率将会有一定的频偏。如果用最高谱峰所在频率和原始载波频率对比进行判决，则其误码率将会很高，所以我们选择每两个载波频率的中间值（fN+1+fN）／2作为判决门限，其中N=1，2，3，…，M-1。若载波频率fn+1＞fn，则其判决准则如式（13）：

综上所述，利用随机共振解调MFSK信号的步骤如下：

（1）对接收到的高频载波MFSK信号进行频率压缩，其过程如2.3节中所述；

（2）将频率压缩后的MFSK信号作为待测信号加入到式（1）所示的随机共振系统中；

（3）对随机共振系统的输出信号进行频率恢复，其过程也如2.3节中所述；

（4）用数据窗采集随机共振的输出信号，并用FFT测得窗内这一小段信号的频率值，将其作为这一小段信号的幅值；

（5）根据式（13）所示的判决准则，进行MFSK信号的解调。

最后值得一提的是，由于随机共振效应是在噪声的协同作用下发生的，所以信噪比较高的MFSK信号通过双稳态随机共振系统时，将不会发生随机共振效应，只能在其中的一个势阱内小范围运动或者发生随机性的跃迁。为了使本文的解调方法能够适应较高信噪比的情况，我们可以在信噪比较高的MFSK信号中人为加入白噪声，使其低信噪比降低，其过程就是将白噪声与MFSK信号简单相加即可。在仿真实验中将会涉及，在此不再赘述。

4 MATLAB仿真实验

对2FSK信号，设定基带信号码元宽度为0.002 s，载波信号为正弦信号，幅值C=0.3 V，频率f2FSK1=1 kHz，f2FSK2=10 kHz，初相为0，采样频率fs=5 MHz；对8FSK信号，载波频率f1=1 kHz，f2= 3 kHz，f3=5 kHz，f4=7 kHz，f5=9 kHz，f6=11 kHz，f7=13 kHz，f8=15 kHz，其余参数和2FSK一样，根据式（7），此时对应的正整数n=4、12、20、28、36、44、52、60，所以载波信号相互正交。

4．1 双稳态随机共振系统对微弱MFSK信号的响应

选择信噪比为-10 dB的8FSK信号，先对其进行R=106的频率压缩，然后将其加入到式（1）所表示的随机共振系统中，取双稳随机共振系统的参数a=1、b=1，则双稳态系统的临界值Bc=0.384 9，两个势阱分别为xH=1和xL=-1，采用四阶Runge-Kutta算法求解朗之万方程。双稳态系统接收的8FSK信号如图5（c）所示，从图中可以看到，低信噪比8FSK信号的波形完全被噪声所淹没，根本分辨不出来两种载波；将微弱8FSK信号作为待测信号加入双稳态随机共振系统之后，在噪声、待测信号、系统三者的共同作用下，发生了随机共振效应，系统的输出状态在双稳态系统的两个势阱之间作相应载波频率的跃迁运动，如图5（d）所示。将图5（d）和图5（b）进行对比可以发现，载波信号的波形被大致恢复了出来。

4．2 FFT区分载波频率并解调8FSK信号

对4.1节中随机共振系统的输出信号进行频率恢复，如图6（a）所示，然后用数据窗采集其信号。数据窗宽度设为一个码元宽度的1／5，每次滑动一个码元宽度的1／50，对窗内信号每次作32 768点的FFT，并求出每次功率谱图中最高谱峰所在频率，用这个频率值作为每次输出信号的幅值，如图6（b）所示。由于输出信号有“毛刺”现象，再将其通过中值滤波器进行平滑处理，如图6（c）所示。最后根据式（13）的判决准则恢复信号，如图6（d）所示，可以看到，它与图5（a）中的原始基带信号基本相同，只是整体上有一定的偏移，这说明成功解调了8FSK信号。

4．3 添加噪声实验

以2FSK为例进行仿真实验。将2 dB的2FSK信号、人为添加过噪声的2FSK信号（信噪比相当于-10 dB）先后通过随机共振系统，系统的响应如图7所示。从图7（b）中可以看到，2 dB的2FSK信号通过随机共振系统时，大部分信号只能在一个势阱中运动，即使偶尔进入另外一个势阱也是毫无规律的，对信号信噪比的提高没有任何帮助；人为添加过噪声的2FSK信号通过随机共振系统时，由于噪声达到了所需的强度，信号就可以借助噪声的能量在两个势阱之间有规律地跃迁，如图7（c）所示。所以对较高信噪比的MFSK信号，只要向其中适量加入高斯白噪声就可用本文的方法解调。

4．4 性能分析

为了分析本文解调方法的误码率，对2FSK信号采集107bit的数据，8FSK信号采集108bit的数据，信噪比由-30 dB逐渐增加到0 dB，进行仿真实验，得到的误码率曲线如图8所示。人为添加白噪声之前，误码率曲线形状像是一个倒峰，信噪比为-14 dB时误码率达到最低点，如图8（a）所示，其原因为：较低信噪比时，噪声的有害作用大于其有利作用，此时噪声起主导作用，并没有改善信号的信噪比；较高信噪比时，因为噪声达不到随机共振所需的强度，所以信号不能在两个势阱之间有规律地跃迁，对信号信噪比的改善也没有帮助。若选误码率等于10-1为容错极限，则加噪声前，本文方法可以解调-23～-8 dB信噪比范围内的2FSK信号和-25～-4 dB信噪比范围内的8FSK信号；若向信噪比为-14 dB以上的2FSK信号和8FSK信号中人为添加白噪声，使其信噪比水平相当于-14 dB的水平，则本文方法就可解调较高信噪比的MFSK信号，且误码率很低，如图8（b）所示。而相干解调方法则只能解调5 dB以上的2FSK信号和2 dB以上的8FSK信号，可见基于随机共振的解调方法优于相干解调方法。

5 结束语

以往随机共振主要是针对周期信号的检测，检测参数主要是信号的频率，本文对MFSK信号和随机共振的数学模型进行了分析，将随机共振成功运用到了非周期信号的检测，实现了微弱MFSK信号的解调，拓宽了随机共振的应用领域。

在当今复杂的通信下，MFSK信号到达接收端时已非常微弱，传统解调方法通常失效，理论研究和仿真结果表明，利用本文方法可成功解调微弱MFSK信号，这对于制造新型微弱MFSK信号接收机具有较好的理论指导意义。

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WEI Shi-peng was born in Luoyang，Henan Province，in 1986.He received the B.S.degree in 2009.He is now a graduate student.His research interests include communication signal processing and weak signal detection.

Email：2979153454＠163.com

张天骐（1971—），男，四川眉山人，现为重庆邮电大学通信与信息工程学院教授，主要研究方向为通信信号的调制解调、盲处理、神经网络实现及FPGA、VLSI实现；

ZHANG Tian-qi was born in Meishan，Sichuan Province，in 1971.He is now a professor.His research interests include communication signal modulation and demodulation，blind processing，neural network and FPGA，VLSI implementation.

余熙（1986—），男，重庆人，重庆邮电大学硕士研究生，主要研究方向为通信信号处理、卡尔曼滤波、粒子滤波；

YU Xi was born in Chongqing，in 1986.He is now a graduate student.His research interests include communication signal processing，Kalman filter and particle filter.

高春霞（1987—），女，河南周口人，重庆邮电大学硕士研究生，主要研究方向为通信信号处理、宽带信号的波达方向估计、阵列信号处理；

GAO Chun-xia was born in Zhoukou，Henan Province，in 1987.She is now a graduate student.Her research interests include communication signal processing，DOA estimation of wideband signal and array signal processing.

Demodulation of Weak MFSK Signal Based on Stochastic Resonance

WEI Shi-peng，ZHANG Tian-qi，YU Xi，GAO Chun-xia
（Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

Using the stochastic resonance to demodulate the weak MFSK（M-ary Frequency-shift Keying）signal solves the high BER（Bit Error Rate）in traditional demodulation methods.Based on the theory that the signal can get help from the noise′s energy to generate stochastic resonance，the weak MFSK signal is put into the stochastic resonance system to increase its SNR（Signal-to-noise Ratio），then the FFT（Fast Fourier Transform）is used to distinguish the two carriers of the signal，finally the MFSK signal is demodulated according to judgment criteria.When the SNR is high，the white noise can be added into the signal to suit for this method. The MATLAB simulation results show that this method can successfully demodulate the 2FSK signal in-23 dB and 8FSK signal in-25 dB，and conventional coherent demodulation can not achieve the result.

stochastic resonance；frequency compression；weak MFSK signal；demodulation；data acquisition window

The National Natural Science Foundation of China（No.61071196）；The NSAF Foundationof National Natural Science Foundation of China（No.10776040）；The Program for New Century Excellent Talents in University（NCET-10-0927）；The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（2009CA2003）；The Natural Science Foundation of Chongqing（2009BB2287，2010BB2398，2010BB2411）

TN914

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.06.016

魏世朋（1986—），男，河南洛阳人，2009年获学士学位，现为重庆邮电大学硕士研究生，主要研究方向为通信信号处理、微弱信号检测与估计；

1001-893X（2011）06-0071-07

2011-01-30；

2011-04-06

国家自然科学基金资助项目（61071196）；国家自然科学基金-中物院NSAF联合基金项目（10776040）；教育部新世纪优秀人才支持计划（NCET-10-0927）；信号与信息处理重庆市市级重点实验室建设项目（2009CA2003）；重庆市自然科学基金项目（2009BB2287，2010BB2398，2010BB2411）

图8误码率性能曲线

Fig.8 The performance curve of BER