群的融合自由积的 fnFrattini子群和fcFrattini子群

邓理平, 邢世奇, 张志让

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

1 引言

1972年Tang[1]得到了一个关于群的带循环融合子群的自由积的Frattini子群的定理,当时考虑的是两个子群的带循环融合子群的自由积的情形,后来Azarian[2]将其推广到任意多个子群的带循环融合子群的自由积的情形,并提出了两个公开的问题。

郭钦等[3]利用Frattini子群是群的所有极大子群的交构成的特征子群回答了第一个公开问题。

Kappe和Kirtland[4]给出了nFrat(G)和cFrat(G)定义并研究了相关的性质。王英和张志让[5]给出了 fn-Frattini子群和fcFrattini子群的定义,并研究了它的基本性质。文中首先从群的 fnFrattini子群等于它的 fn-非生成元组成的集合这一特征性质出发,考虑了任意多个子群的带循环融合子群的自由积的 fnFrattini子群,推广了Azarian的相关定理;然后从 fnFrattini子群是群的所有具有有限指数的极大正规子群的交这一定义从另一角度证明了相应的定理,进一步推广了郭钦等[3]关于这类问题的结果。同样地,考虑了任意多个子群的带循环融合子群的自由积的 fcFrattini子群,也从两个角度分别用两种方法证明了相应定理。

2 fnFrattini子群、fcFrattini子群和群的融合自由积的概念

2.1 fnFrattini子群

定义1[5]在群G中,设如果 N◁L◁G,那么N=L或L=G}。当N≠Ø时,定义;当N=Ø时,称为群G 的fnFrattini子群。

定义2[5]在群G中,设元素x∈G,如果对 G的任意满足子集∞且 G=〈x,S〉G,都有 G=SG,称 x为群G的fn-非生成元。

群G的fnFrattini子群等于它的fn-非生成元组成的集合[5]。

2.2 fcFrattini子群

定义3[5]在群G中,设如果 K char L char G,那么 K=L或L=G}。当K≠Ø时,定义;当K=Ø时,定义称为群G的fcFrattini子群。

定义4[5]在群G中,设元素 x∈G,如果对G的任意满足子集∞且 G=〈x,S〉Aut(G),都有 G=SAut(G),称 x为群G的fc-非生成元。

群G的fcFrattini子群等于它的 fc-非生成元组成的集合[5]。

2.3 群的融合自由积

Neumann[6]给出的群的融合自由积[7]的概念。假设令 Γ为基数大于1的指数集合,G是群,并且S是它的生成元集合。假设 S=∪γ∈ΓSγ为群G 的一些子集Sγ的并,对每一个 γ∈ Γ,记 Gγ=〈Sγ〉,Rγ是Gγ的定义关系集合。如果R=∪γ∈ΓRγ是群G的定义关系集合,那么就称G为子群簇的广义自由积。因为没有事先假设 Sα和Sβ是不相交的,那么可以设 Gα∩Gβ=Hαβ=Hβα≠1。如果对于所有的 α≠β,都有 Hαβ=1,那么称 G为子群簇的自由积。如果假设所有的交 Hαβ都是同一个子群H,即对于所有的 α≠β(α,β∈ Γ)都假设Gα∩Gβ=H,那么称 G 为子群簇的带融合子群H 的自由积,并将 G 表示为G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ),其中对于所有的γ∈Γ,Hγ都同构于H。

3 主要结果

引理[8]设G是群且H≤G,K≤G,那么其中为H在子集KH中左陪集的个数。特别地,如果有限,那么有限,且;当且仅当 G=HK时,等号成立。

3.1 关于 fnFrattini子群的结果

Azarian给出了任意多个群的带循环融合子群的自由积的Frattini子群的结果。下面从 fnFrattini子群是由群的 fn-非生成元组成的特征子群这一特征性质出发,将Azarian这一结果推广到 fnFrattini子群的情形。

定理1 设 G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ)是任意子群簇带循环融合子群H的自由积。如果 N≤H且N◁G,那么对任意γ∈Γ,都有

从fnFrattini子群是群G的所有具有有限指数的极大正规子群的交证明定理1。这推广了郭钦等相关定理。

3.2 关于 fcFrattini子群的结果

定理2 设 G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ)是任意子群簇带循环融合子群H的自由积。如果 N≤H且NcharG,那么对任意 γ∈ Γ,都有

[1]Tang C Y.On the Frattini subgroups of generalized free products with cyclic amalgamations[J].Canad.Math.Bull.,1972,15：569-573.

[2]Azarian M K.On the lower near Frattini subgroups of amalgamated free product of groups I[J].Missouri J.Math.Sci.,1990,2：105-144.

[3]郭钦,张志让,王英,等.群的融合自由积的几种广义Frattini子群[J].数学年刊,2008,29A(1)：67-70.

[4]Kappe L C,Kirtland J.Some Analogues of the Frattini Subgroup[J].Algebra Colloq.,1997,4(4)：419-426.

[5]Wang Ying,Zhang Z R.Some Generalized Frattini Subgroup[J].Journal of Mathematics,2009,29：609-612.

[6]Neumann B H.An essay on free products of groups with amalgamations[J].Philos.Trans.Roy.Soc.London Ser.,1954,246(A)：503-554.

[7]Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups 2nd ed[M].New York：Springer Verlag,1996.

[8]Derk K,Hawkes T.Finite Soluble Groups[M].Berlin：Walter de Gruyter,1992.