基于灰色关联系数改进的加权TOPSIS法及其应用

2011-03-26王砚羽王正新

华东经济管理 2011年10期

王砚羽，张卓，王正新

(南京航空航天大学经济与管理学院，江苏南京 210016)

一、引言

TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Solution)翻译为逼近理想解的排序方法，是一种常用的有限方案多属性决策分析法。基本原理为：通过构造多目标决策问题的“理想解”和“负理想解”对各可行方案进行排序，以确定其优劣。因此TOPSIS法又称双基点法，该方法具有计算简便、评估结果合理、便于理解、应用较为灵活的特点，目前已广泛应用于社会经济和工程技术等领域［1-2］。

然而Topsis理论本身的不足之处不容忽视：经典TOPSIS方法采用欧式距离公式计算备选方案与理想解属性之间的差异，使得属性与其效用之间呈现线性的变化关系。这种距离测度方法所得到的是一个刚性的解，现实中方案属性值的效用及其边界效用并不总是线性变化的。因此，经典TOPSIS方法往往并不能给出满意的解释；另外传统的TOPSIS方法不强调各决策指标的偏好程度，因此在实际应用该方法时权重或者事先给出，或者经过各种决策矩阵计算，不同的赋权方法对评价结果的影响较大。

已有的研究中，对传统TOPSIS方法的改进主要针对方法体系本身和赋权方法两个方面展开。目前解决TOPSIS方法本身问题的主要思路有：(1)替换欧式距离，如文献［3］将理想解点与负理想解点视为确定不确定系统中相互对立的集合，在考察目标方案与理想解点或负理想解点的联系度时，引入了联系向量距离。但是这种方法当负理想点中出现为零的指标值时按照非负有理数的同一度将造成严重的信息丢失，此时需要重新定义，这反映出集对分析法的局限性。类似关于替换欧式距离的还有文献［4-5］，分别从矩阵范数和立体几何垂面距离的角度进行创新性的研究。(2)排序方法上改用偏序，如文献［6］提出在解决某些实际问题时应放弃全序而采用偏序能更合理地反映出方案的优劣性。但这种方法往往导致无评价结果的情况。(3)定义新的贴近度，如文献［7-8］将贴近度定义为目标方案与理想解点和负理想解点的夹角余弦，从而寻找出新的评价依据；对权重确定方法的探讨方面：有关权重确定方法的文献很多，赋权方法大多注重科学性、系统性和集成性。如文献［9］根据决策单元（DMU）模糊偏好来分别获取TOPSIS方法下基于理想点和负理想点的偏好权重，构造最优化模型，使得现实偏好与名义模糊偏好pik方差最小，通过构造拉格朗日函数，解得权重。文献［10］又对这一权重确定方法进行了改进，将权重确定为然而从研究的趋势来看，对于权重计算的探讨越来越依赖于数据的获取和方法的集成，可操作性和简化性受到了忽视。

邓聚龙教授提出的灰色关联分析［11］是衡量曲线形状相似性的一种柔性测度方法，这种方法计算量小，不需要典型的分布规律［12］，可以较好地反应序列之间的非线性关系，这恰好可以弥补TOPSIS法刚性解的不足。因而，将灰色关联分析引进，能够达到刚柔相济的效果。综上所述，本文利用灰色关联分析和TOPSIS这两种方法各自的优势，着眼于替换欧式距离的思路，将灰色关联系数引入TOPSIS法中，同时提出一种可操作性强并简单易行的赋权方法——Group-AHP法，适用于根据大范围问卷调查的结果进行赋权的情况。最后，将该方法运用到我国9大航空客运公司服务质量的评价中。

二、经典TOPSIS方法和灰色关联分析方法

(一)经典TOPSIS方法

定义 1：设有 m 个方案 A1,A2,⋅⋅⋅,Am,n个指标C1,C2,⋅⋅⋅,Cn； xij为方案 Ai在指标 Cj下的指标值（i=1,2,⋅⋅⋅,m;j=1,2,⋅⋅⋅,n）； ωj为指标 Cj的权重，其中 ωj∈[0,1] 且；目标决策问题初始矩阵为X=(xij)m×n。

在目标决策中，不同量纲的指标直接比较是没有意义的，因此根据指标的性质［13］（效益型，成本型，中间型）选择适当的方法对初始矩阵进行标准化Z=(zij)m×n。计算加权矩阵： R=(rij)m×n，其中rij=ωjzij,i=1,2,⋅⋅⋅,m;j=1,2,⋅⋅⋅,n。之后确定理想解点S+与负理想解点S-：

对于效益型指标：

对于成本型指标：

计算各方案到正负理想解的欧式距离。方案Ai到理想解和负理想解的距离分别为：

各方案的相对贴近度为：

ci越小，方案越接近理想点。

(二)灰色关联分析方法

灰色关联分析法（GRA）是灰色系统理论的重要分支，是对系统发展变化事态的定量描述和比较的方法［14-15］。它的基本思想是通过确定参考数列和若干比较数列集合曲线的接近程度来判断其联系是否紧密，并用灰色关联度来反映曲线间的这种相关程度，大者则关联程度大。

定义2：设系统行为序列

对于ρ∈(0,1)，令

则ζ(X0,Xi)满足灰色关联四公理。ζ(X0,Xi)称为X0与Xi的灰色关联度，ζ（x0(k),xi(k)）称为灰色关联系数，其中ρ称为分辨系数。

三、基于灰色关联系数改进的加权TOPSIS方法

灰色关联系数改进的加权TOPSIS方法首先对规范化的决策矩阵进行加权，计算灰色关联系数，之后求解理想解和负理想解，将贴近度作为评价的依据。具体计算步骤如下：

(1)确定比较数列（评价对象）和参考数列（评价标准）。设评价对象为m个，评价指标为n个，则比较数列为：xi={xik|i=1,2,…,m,k=1,2,…,n}，用矩阵表示为：

其中，xik为第i个评价对象第k个指标的评价值。

(2)指标值的规范化处理。为了消除不同指标不同量纲的影响，方便各指标之间的比较，需要针对不同类型的指标采取不同的规范化方法，将其规范化为隶属于区间[0,1]区间上的数。具体做法是：

对于效益型指标，可采用如下公式：

对于成本型指标，可采用如下公式：

(3)运用适当的方法计算决策指标的权重ωi。对y按公式zik=ωiyik加权，得到如下矩阵：

取每个指标的最理想值为参考数列z0的实体，则有参考数列z0={z0k|i=1,2,…,n}，即z0=(z01,z02,…,z0n)。

(4)计算灰色关联系数 ζi(k)。利用公式（4），设Δi(k)= |z0k-zik|，则

其中，Δi(k)表示z0与zi在第k项指标处的绝对差，ζi(k)为关联系数；ρ为分辨系数。ρ在公式中非常重要，它不仅仅可以调节ζ的大小，而且还可以控制关联系数的变化区间。通常ρ的取值范围在[0,1]区间，根据经验，在此ρ取0.5。关联系数矩阵形式表示为：

(5)以灰色关联系数矩阵ζ为新的决策矩阵构造理想解模型，确定正理想方案和负理想方案：

正理想方案：

负理想方案：

(6)计算第i个项目到正理想方案和负理想方案的距离，利用公式（1）计算到正理想方案的距离：

利用公式（2）计算到负理想方案的距离：

(7)利用公式（3）计算各项目的相对贴近度，之后进行优劣的判断。相对贴近度越小的指标越优。

四、权重的确定：群组——层次分析法

在求得矩阵（10）的过程中权重的确定是影响评价结果的另一个重要因素。通常有三种赋权法：主观赋权（如层次分析法）、客观赋权（如熵权）、组合赋权（主客观方法加权）。其中层次分析法是一种定性定量相结合的方法，在实践中广为应用。但是在判断矩阵获取的过程中容易出现如下问题：①由于判断矩阵的建立是基于人的思维的逻辑推理，因而在实际应用中容易受被调查者主观原因的影响，造成判断矩阵不一致，从而产生信息浪费；②对于收集到的判断矩阵代表了不同的专家意见，判断矩阵中的数值是相对数，而如何将不同的意见（即相对数）汇总为一个综合的判断矩阵，对于层次分析法来说也是一个难题。

群组决策特征根方法对被调查者的要求较低，能够解决Satty判断矩阵在实践中的问题：各专家只需按习惯方式打分就可得到群体对目标的最优排序结果；它是一种综合专家意见法，能够利用所有的已知信息，避免信息的浪费，但是不可避免也会出现不一致的问题。将群组决策方法与层次分析法相结合，对所得权重进行一致性的检验，得到群组——层次分析法（G—AHP），具体实现步骤如下：

(1)建立原始矩阵。由S1,S2,S3,⋅⋅⋅,Sm组成的m个专家群组决策系统G，评价n个对象B1,B2,⋅⋅⋅,Bn，其中第i个专家Si对第 j个被评目标B的评分值记为aij∈[I,J](i=1,2,⋅⋅⋅,m;j=i=1,2,⋅⋅⋅,n)。 aij的值越大，目标Bj越重要。Si及其群G的评分组成n维列向量ai和m×n阶矩阵A。

引理［16］1式中 λmax为矩阵F=ATA的最大特征根。

引理［16］2设 A是m×n阶矩阵， B是n×m阶矩阵，则AB与BA有相同的(包括重数)非零特征值。

(2)计算F=ATA。

(3)计算F的最大特征值λmax，可通过matlab等软件直接算得。

(4)计算F的最大特征值所对应的特征向量并进行单位化，记为B，B即为各因素之间的相对重要性权重。

五、我国航空客运服务质量评价实证研究

航空客运是我国基础产业中最引人关注的部分之一。一方面随着航空公司激烈的价格战使得航空客运从奢侈品逐渐平民化；另一方面航空客运业具有极大的复杂性，利润链条涉及多个行业多个环节。我国的航空客运业目前存在服务项目雷同，带有被动性、盲目性或功利性，产品缺乏活力和合力，缺乏核心竞争力的问题［17］。当前我国乃至世界航空客运业面临的最大压力是盈利不足，这与内部员工优越感强，服务意识和危机意识淡薄形成鲜明的对比。

民航客运是一种典型的服务产品，核心产品是时、空、位移。乘客是利润价值链的核心环节，乘客所感知的服务质量是核心竞争力的体现。贝里用一句非常简洁的话给服务下了定义，认为服务是“一个行动，一次表演”和“一项努力”［18］。向服务要利润已经成为目前航空业发展的目标，尤其是在当前航空服务管理网络化和乘客需求多样化的市场趋势下，航空企业竞争的根本是乘客满意，只有乘客满意才能创造出源源不断的现实和潜在利润，才能使企业价值最大化。

Parasuraman,Zeithaml and Berry（1988）对其在1985年提出的服务质量评价工具SEVRQUAL中的十大评定因素作了修正，指出对服务质量的评价可以从五个角度或标准进行。即：可靠性、有形程度、回应性、保证性和移情性，简化了服务质量的评价标准与方法［19］。

Christopher H·Lovelock（2001）从顾客与服务企业之间相互作用的性质和服务网点的数量两个维度把服务划分为六种类型［20］。航空公司的服务属于多网点，由顾客到企业接受

从旅客创造价值角度出发，航空客运服务价值链如图1［22］。服务的类型。

图1 航空客运服务价值链

航空公司服务质量是航空公司通过与民航其他单位协作而提供服务的使用价值是否满足旅客安全、准时、方便、舒适地从始发地到目的地的旅行需要的程度［21］。对航空企业服务质量的准确测度有利于提高乘客满意度、忠诚度，对于提高企业核心竞争力具有重要的现实意义和理论意义。

此价值链从旅客开始接受航空客运服务的订票服务开始一直到一次航行的结束，并延伸到后续的服务，较为全面地对航空客运服务的各个环节进行了分解。限于篇幅的限制，本文将空中服务这一环节作为算例，实践基于灰色关联改进的加权Topsis方法。价值链的其他环节的计算过程同理，最终形成对航空公司服务质量完整的测度体系。

根据上文提到的服务业的特点，参考相关文献，将航空公司客运服务按照可靠性、有形程度、回应性、保证性和移情性，细化为乘务员的精神面貌等14个维度，以海航、南航、东航、国航、上航、深航、厦航、川航和山航九家航空公司的网上调查数据作为原始数据，调查结果见表1。

表1 航空公司服务质量网上评价汇总

(一)权重的确定

利用上述计算权重的方法，首先组织专家调研，针对上述14个服务质量评价指标，对九家航空公司高管及高校相关研究专家进行问卷调查，以服务质量中的第一项“乘务员的精神面貌”为例，设计五个等级，“很不合理、不合理、合理、很合理、非常合理”五个等级分别对应1、2、3、4、5分。综合14项指标得分，得到F=ATA。之后应用matlab软件直接计算F的最大特征值λmax，以及其所对应的特征向量并进行单位化，得到相对重要性权重。再对所得结果进行一致性检验，最后得到我国航空客运服务质量指标的权重为：

(二)计算灰色关联系数

由于资料数据都是同一标准的，因此不需要再进行标准化，加权之后如下：

寻找参考数列：

由于对服务质量的打分越高越好，因此所选的参考数列为每一项的最大值，之后通过 Δi(k)=|z0k-zik|，计算灰色关联系数，得到灰色关联矩阵，结果见表2。

表2 灰色关联矩阵

(三)Topsis法进行最终测度

首先挑选出正理想解和负理想解，计算到正理想解的距离：

到负理想解的距离：

得到我国航空客运服务质量的综合排序，按服务质量由好到差的顺序为：海航、国航、东航、南航、山航、上航、厦航、深航、川航。用经典TOPSIS方法对我国航空公司客运服务质量的评价结果与本文所建立的方法结果对比如表3。

表3 两种方法评价结果对比

本文所建立的方法测度结果同国际航空运输服务质量评级权威机构SKYTRAX对世界航空公司的服务质量的星级排名结果完全吻合。2009年，该机构通过大规模顾客与专家评价的方法对于上述航空公司的星级评价是：海航和国航服务质量为四星级，东航、南航、山航、上航、厦航、深航和川航服务质量为三星级。从结果来看，基于灰色关联改进的加权TOPSIS方法的测度结果更加准确，从方法来看，本文所建立的测度方法则更加明确地揭示了乘客对于航空公司服务质量的偏好，以及航空公司服务质量结果的成因。这对于航空公司提高服务质量具有更加明确的指导意义。

首先，改进的方法为权重设置提供了切实可行的方案，致使评价的结果与简单平均方法不同，关键指标如安全性、正点情况、乘务员的精神面貌、飞机起降的感受等对于航空公司服务质量的总体评价具有更重要的影响。例如海航、东航、南航在这些关键指标中都具有相对的优势，因此奠定了其服务质量排名的基础。

第二，改进的方法具有TOPSIS法和灰色关联分析法的优点，又弥补了各自的不足，即既具有刚性的特征，又反映了柔性的需求，评价中体现为对指标平稳性的要求。乘客对航空公司服务质量的感知往往是综合性的，各项指标的平稳性在最终评价中起到重要作用。例如川航和深航，各项指标得分的波动性较大，尽管两者的平均得分并不低，但在综合比较中却失去了优势，其原因就是出现了个别指标严重低于其平均值的情况。而排名较前的几家航空公司得分相对平稳或略高于平均分，这一点对于其最终排名起到了重要的作用。这对于航空公司的启示是，一项令顾客感到不满意的服务对企业的损失是巨大的。

六、结束语

现有的评价方法中传统TOPSIS法只计算相对距离而忽视曲线趋势，而传统灰色关联法只关注曲线形状而忽视数据序列之间的相对关系。本文提出的基于灰色关联系数改进的加权TOPSIS法针对以上两种方法的各自的特点，优势互补，通过计算灰色关联系数的相对贴近度对方案进行综合的评价研究。在评价过程中，提出了采用Group-AHP方法增加权重确定的可实施性，简化了权重确定在实际操作中的难度。

本文对具体案例的研究表明基于灰色关联系数改进的加权TOPSIS法与经典TOPSIS方法相比对于评价我国航空客运服务质量管理具有更好的适用性，评价的结果与实际情况基本吻合，该方法考虑了各项指标的不同权重，同时以指标得分的稳定性作为衡量服务质量的重要因素，符合服务业注重顾客感知质量及顾客满意度的特点。同时该方法为航空公司提高客运服务质量和乘客满意度提供了定量的依据。

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