一道物理题的不同数学图像解法

路文柱

“子弹击木块”是动量、能量综合问题中的一种常见模型，一般通过动量守恒方程和功能原理方程综合求解．但这类问题由于所列出的动量守恒和功能原理的方程一个为一次方程，一个为二次方程，有时求解非常繁琐，不易得出有效结论;但通过图像法求解，可使解决问题的过程更加直观、简洁．

【题目】一颗子弹水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块．设木块对子弹的阻力恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是

A．木块获得的动能变大

B．木块获得的动能变小

C．子弹穿过木块的时间变长

D．子弹穿过木块的时间变短

分析:在子弹击穿木块的过程中，由于其间的阻力为恒力，故子弹做匀减速运动，木块做匀加速运动．设质量为m的子弹以水平速度v0射入静止在光滑水平面上、质量为M的木块，用f表示子弹与木块间的摩擦阻力，子弹相对木块的位移为s相，d表示木块的厚度．当子弹穿过木块后，子弹和木块的速度分别为v1和 v2，此时 s相=d．

解:由于子弹击穿木块过程两者构成的系统动量守恒

由功能原理

设子弹加速度为a1，木块加速度为a2，子弹穿过木块时间为t，则对子弹和木块由运动学公式得

其中 s相

理论上讲，由(1)和(2)式可求出子弹击穿木块后两者的速度表达式;再通过(3)或(4)式可求出时间t的表达式;并从表达式中可得到v1和 v2随v0变化的情况．但实际解出v1，v2和t的过程非常繁琐;即使解出了结果也无法直接看出v1，v2和t随v0变化而变化的具体情况，即无法直接看出它们在数值上的大小关系．所以解答选择题不宜定量求解;最好使用图像法定性解答．

图1

解法1:利用v－t图求解

从子弹击中木块时刻开始，由前面(3)和(4)式可作出二者的vt－t图像，如图1中的实线所示．由vt－t图像的物理意义可知，梯形OABv01的面积为子弹相对木块的位移s相，即木块的厚度d．当子弹的初速度增大为v02时，子弹、木块运动的vt－t图像如图1中的虚线所示，梯形OA1B1v02的面积仍等于子弹相对木块的位移，即木块的厚度d．故二梯形面积相等．对比实、虚线可知，当子弹射入速度增大，即v02＞v01，木块的速度将变小，动能将变小，子弹穿过木块的时间将变短，即t2＜t1．本题的正确选项为B，D．

解法2:利用s相－t图求解

设子弹击穿木块的过程中，子弹和木块通过的位移分别为s1和s2，子弹相对木块的位移和加速度分别为s相和a相，则由运动学公式得

由以上两式可得

即

作不同初速度所对应的s相－t图像，如图2所示．

图2

极大值为

对照物理过程，对称轴左侧部分为正向减速过程，运动速度(图像斜率)大于零，对称轴右侧部分为反向减速过程，运动速度(图像斜率)小于零，而顶点表示子弹相对木块速度恰好减为零(即两者有相同的速度)时的状态．由于子弹在穿过木块的运动过程一直是正向减速过程，所以实际上的运动图像为对称轴的左侧部分．由顶点坐标公式可知，当初速度v0越大，对称轴的值也越大，极大值s=也越大，图像的顶点(图2中平行于横轴和纵轴的两虚线的交点)依次向右、向上移动，如图2所示，其中v02＞v01．由图像可看出，在s相相同的情况下，t2＜t1，即初速度v0越大，则子弹击穿木块的时间t越短．再由公式v2=a2t可知，子弹击穿木块后，木块的速度v2也越小．正确选项为B，D．

解法3:利用v相－t图求解

由前面(3)和(4)式可得

即

作出不同初速度下的v相－t图像，如图3所示．

图3

图中v02＞v01．图线和t轴所围面积为子弹相对木块的位移s相．由图像可知，当s相相同时，即图线和t轴所围面积相同的情况下，由于图像斜率

恒定不变，子弹初速度v0越大，则穿过木块所用时间t越短，即

进而由公式v2=a2t求得子弹击穿后木块的速度v2也越小．正确选项为B，D．

以上利用不同的图像解答了同一问题，结论完全一致．看来灵活应用函数及图像来处理物理问题，是解决物理问题必需的一项本领，它使得处理问题更加方便、快捷、直观．