基于混沌和BEMD分解的小波域彩色图像数字水印算法

刘程浩 ，柏 森 ，刘博文 ，徐 庶

(1.重庆通信学院，重庆 400035；2.71426部队，河南 焦作 415000)

数字图像水印发展非常迅速，数字图像数据的版权保护也显得越来越重要。通过在数字图像载体中嵌入水印，可以实现盗版确认、使用跟踪等功能。以数字图像为载体的经典的信息隐藏算法基本可以分为两类：时域算法和变换域算法。时域算法的主要代表有LSB算法[1]，其算法比较简单、容量大，但是鲁棒性差。目前，变换域算法由于对视觉影响小，鲁棒性好而受到研究者的重视。研究的方向主要集中在DCT变换[2-3]、DFT变换域[4-5]、DWT变换[6-7]及其他正交域[8]。 虽然变换域算法的鲁棒性普遍比空域算法好，但变换域的算法容量普遍较小，无法和空域算法容量相比。参考文献[9]提出了一种基于BEMD(BidimensionalEmpiricalMode Decomposition)分解[10]的数字水印算法，该算法达到了空域LSB算法容量水平，并对椒盐噪声、缩放、小波变换实现的压缩有一定的抵抗能力，但其基本不具有抗JPEG压缩攻击的能力。另外，由于BEMD分解的系数取值空间有限，进而使其密钥空间很小，导致该水印算法的安全性不高。

针对参考文献[9]算法的不足，本文以彩色图像G通道信号为载体，利用HVS系统对绿色的不敏感性，提高算法的不可感知性；利用DWT变换鲁棒性的优点，提高算法的鲁棒性；利用混沌系统对初值的敏感性，提高算法的安全性[11]；利用二维混沌置乱的高效性，提高BEMD分解的有效性，同时置乱增加了图像分解后中低频幅度频谱强度，提高了算法抗JPEG压缩攻击的能力[12]。实验结果表明，本文提出的改进算法容量依然很大，可达到空域LSB算法四分之一的水平，显著增强了其抗JPEG压缩攻击能力，同时提高了算法的安全性。

1 混沌序列

混沌现象是在非线性动力系统中出现的确定性的、类似随机的过程。这种过程既非周期，又不收敛，并且对初始值有极其敏感的依赖性。

一个一维离散时间非线性动力系统定义如下：

其中，xk∈v=(0，1)，k=0，1，2，3，…，称之为状态。 而f：v→v是一个映射，将当前状态xk映射到下一个状态xk+1，如果由初始值 x0开始，反复应用 f，就得到一个序列{xk，k=0，1，2，3，…，}，这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。

既非常简单又被广泛研究的动力系统是Logistic映射，其定义如下：

其中，0≤u≤4 称为分枝参数，xk∈(0，1)。 当 3.569 945 6≤u≤4时，Logistic映射工作处于混沌状态。也就是说，由初始条件x0在Logistic映射的作用下所产生的序列{xk，k=0，1，2，3，…，}是非周期、不收敛的，且对初始值非常敏感。Logistic序列的特性表明，混沌动力系统具有一定的确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，具有形式简单、对初始条件敏感等诸多特性[13]。

2 二维经验模式分解

HUANG N E提出将原始信号分解为一些不同IMF(Intrinsic Mode Functions)分量之和，并对分解后得到的IMF分量进行Hilbert变换，获得分量的瞬时频率和振幅，即Hilbert谱[14]。物理上定义一个有意义的瞬时频率所需要的条件是具有局部均值为零的对称性，并且具有相同的零交叉和极值数目。因此，HUANG N E给出的IMF定义满足以下两个条件：

(1)在整个信号数据段内，极值点的个数和过零点的个数必须相等或最多相差一个。

(2)在任何一点，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线的均值为0。

EMD分解基于如下假设：

(1)信号至少有两个极值，即一个极大值和一个极小值。

(2)信号特征时间尺度由两个极值之间的时域信号的下降沿定义。

(3)当整个数据序列没有极值点而只有拐点时，能够在进行一阶或几阶运算后重建极值点。

几乎所有的信号都是非线性、非稳态的，它们不满足构成IMF的条件。因此，需要采用筛选算法，将复杂信号分解为若干个IMF之和。

对于一个二维 m×n 图像信号 f(x，y)，x=1，2，…，m；y=1，2，…，n。 BEMD 分解[4]的实现过程如下：

(1)外部初始化，令待处理的图像为：

(2)筛分抽取第 j个 IMF：

①内部初始化：h0(x，y)=rj-1(x，y)，k=1。

②利用形态学算法或者8邻域像素，找出hk-1中的极大值和极小值点。

③分别对极大值和极小值点进行包络拟合，形成二维图像上包络曲面Envelopemax(x，y)和下包络曲面Envelopemin(x，y)。

④确定均值包络：

⑤从图像中减去均值得到：

理想情况下，hk(x，y)应该是一个基本模式分量。然而，对非线性、非平稳数据而言，包络均值可能不同于真实的局部均值，一些非对称波依然存在。

⑥计算终止条件，若满足 IMF条件，则有：cj=hk(x，y)；否则令 k=k+1，转到第②步。

(3)求残差量 residue：

若rj(j=j+1)中仍有不少于两个的极值点或者分解所得的IMF数目未达到要求，则将rj看做新的数据，转到(2)。

(4)最后得到的BEMD分解结果是：

式中，f(x，y)为要合成的图像信号，cj(x，y)是分解得到的第j个 IMF分量，n为分解的 IMF分量个数，rn(x，y)为最终的残余分量。

IMF的第2个限定条件只是一种理论上的要求，在实际筛选过程中，很难保证图像信号的局部均值绝对为零。如果完全按照上述两个限定条件判断分离出的分量是否为基本模式分量，很可能需要过多的重复筛选，从而导致基本模式分量变成具有很大幅度的纯粹调制信号。为了保证基本模式分量保存足够的反映物理实际过程的幅度与频率调制，必须确定一个筛选过程的停止标准。筛选过程的停止标准可以通过限制两个连续相邻的处理结果的标准差决定，即：

直到SD

3 水印嵌入算法

假设载体图像为RGB彩色图像：

其中，i为行数，j为列数，q为通道。根据HVS理论，将G通道进行水印嵌入：

(1)离散小波变换

用 “db1”小波基对G通道载体图像I进行DWT变换：[LL1，HL1，LH1，HH1]=DWT(I)，其中 LL1为低频子带。

(2)Logistic混沌序列置乱

根据式(2)，Logistic迭代方程构造二维Logistic混沌映射：

其中，u1=0.89，u2=0.89(式(2)中的系数)，x(1)=0.99，y(1)=0.02。

利用x、y对LL1进行位置置乱得到 LL1scramble：

其中，k、l分别为低频子带矩阵行和列数。

(3)用水印图像替换LL1scrambleBEMD分解得到的第5个IMF分量。

根据第 2节的方法对 LL1scramble进行 BEMD分解，取SDmax=0.5，得到：

其中，x=1，2，…，k；y=1，2，…，l；n=5，q 为嵌入强度取值为 10。

(4)Logistic混沌序列反置乱

利用步骤(3)中的 Logistic混沌映射将 LL′1scramble进行反置乱恢复得到 LL′1。

(5)利用小波基重构嵌入水印的I′

将嵌入水印的低频子带LL′1和其他原始3个子带，用“db1”小波进行反离散小波变换对信号进行重构，重构得到含有水印的G通道图像信号：

I′=IDWT[LL′1，HL1，LH1，HH1]

4 水印提取算法

水印提取时需要原始的载体图像，提取过程如下：

(1)离散小波变换。使用“db1”小波基分别对原始彩色图像X和待检测彩色图像X*的G通道信号I和I*进行一级小波分解，并提取各自的低频子带系数矩阵LL1和LL*1。

(2)Logistic混沌序列置乱。按照水印嵌入算法步骤(2)中的 Logistic混沌置乱方法分别对 LL1和 LL′1进行置乱得到 LL1scramble、LL′1scramble。

(3)水印提取。

式中，IMFn-1是LL1scramble按照水印嵌入算法步骤(3)中的方法进行BEMD分解得到。

5 实验结果

实验采用Lena(256×256)彩色图像作为原图像，原水印信息为128×128的二值图像。结果表明，这种算法的不可见性很好，如图1所示。实验计算得峰值信噪比PSNR=34.540 5 dB，也说明算法的透明性很好。算法抗攻击的测结果如表1所示，图2所示的是JPEG压缩因子为70时，提取水印和原始水印的对比。

图1 原始图像与含有水印图像

表1 鲁棒性攻击检测结果及算法比较[9]

图2 原始水印信息与提取水印信息(JPEG压缩因子70)

本文提出基于小波变换(DWT)、混沌映射和BEMD分解数字水印算法，首先根据HVS系统对绿色敏感度低的特点以及小波变换抗压缩攻击的特点，使用小波基将原始彩色载体图像的G通道图像信号整体进行一级小波分解。然后为了提高算法的安全性和中频分量的强度，对原始G通道图像信号小波分解得到的近似分量，进行Logistic二维混沌位置置乱，再对置乱后得到的近似分量进行BEMD分解。为了提高抗算法的鲁棒性，选取替换中低频的IMF分量进行水印嵌入，充分利用了图像的冗余空间，使鲁棒性和不可感知性达到了比较好的平衡。实验表明，该算法容量大，当载体图像为256×256时，嵌入的容量为128×128 bit参考信息。同时该算法能够抵抗噪声、缩放、JPEG压缩的攻击，与参考文献[9]算法相比，本文算法的抗JPEG压缩攻击的鲁棒性有了明显的提高。然而这种信息算法还存在两个问题：一是不能抵抗旋转攻击和剪切攻击；二是算法是非盲的，即水印提取时需要原始载体图像。如何解决这些问题将是下一步算法改进研究的重点。

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