一类考虑抗体免疫反应具有标准传染率的病毒动力学模型

毕 湧, 肖湘萍

(中北大学理学院， 山西 太原 030051)

0 引 言

关于传染病传播的数学模型的研究是从En′ko(1889)开始的，作为奠基性的工作是1927年Kerinark和Mekendrick的工作．他们将总人口分为易感者(S)、染病者(I)和恢复者(R)3类，利用动力学的方法建立了SIR传染病模型，并对其传播规律和流行趋势进行了研究，提出了阈值理论：若种群中易感者的数量高于阈值，传染病将维持；低于阈值，传染病将趋于绝灭．近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题．这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹(measles)、疟疾(malaria)、肺结核(tuberculosis)、 流感(influenza)、 天花(smallpox)、淋病(gonorrhea)、艾滋病(ADIS)等诸多具体疾病的模型.从传染病的传播机理来看，这些模型涉及接触传染、垂直传染、媒介传染等不同传染方式以及是否考虑因病死亡、因病或预防接种而获得暂时免疫或终身免疫.种群生长的不同动力学规律等因素构成了丰富多彩的传染病模型．

1 具有标准传染率的模型分析

1.1 建立模型

我们考虑如下模型：

(1)

1.2 平衡点及其稳定性

下面我们研究无病平衡点E0的全局性态．

定理1.1 对于系统(1)，若基本再生数R0≤1，则无病平衡点E0全局稳定．

证明：定义一个全局Lyapunov函数

求导可得:

定理1.1的生物意义如下：若一个病毒在其存活的周期内繁殖的病毒不多于1个，则病毒不能成功的入侵宿主并且它会很快被清除．

下面我们讨论正平衡点

的局部稳定性.

引理(Hurwitz判据) 考虑多项式方程

λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an=0

所有根具有负实部的充要条件是

k=1,2,…,n.其中j>n时，补充定义aj=0．

定理1.2 对于系统(1)，若R0>1，则系统存在唯一正平衡点E*，且此平衡点E*是局部稳定的．

证明：对于系统(1)，其Jacobian矩阵为

A的特征矩阵xE-A为

A的特征方程|B|=0为

其中：

因为rdII=dVV，所以rdII2TdT-ITdTVdV=0，得a3的分子为

a31=-dI(-VλdVI-VλdVT+dIITVdV+dIIT2dIr)

=-dI[-VλdVI-VλdVT+dITI(VdV+TdTr)]

=-dI(-VλdVI-VλdVT+dITIrλ)

=VdIdVI(TdT+dII)

由于rdII=dVV，所以a2的分子为a21=-dI2ITV+VλdVI+VλdII+VλdIT+dIITdTV,再整理得:

显然a1，a2都大于0．

显然a1a2-a3>0．因此H1，H2，H3都大于0，所以A的所有特征值均具有负实部，本系统的零解渐进稳定，可见E*局部稳定．

定理1.2所表示的生物意义如下：若一个病毒在其存活的周期内繁殖的病毒多于1个，则病毒能成功的入侵宿主细胞．

参考文献

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