Bäcklund变换下一类Burgers方程精确解分析

王理凡

(金华职业技术学院,浙江金华321007)

非线性微分方程在物理学、工程学中都有着广泛的应用,特别是可用于描述带有非均匀边界条件的物理背景中的各种非线性波动现象的动力学机制。Bäcklund变换现已成为求解某些非线性偏微分方程的有力工具,是可积系统方面的一个重要研究领域。文献 [1]研究了形如:

的非线性偏微分方程由可积系统:

定义的Bäcklund变换u→v的分类,证明了这样的非线性偏微分方程只能是Burgers方程:

相应的可积系统是:

下面,笔者将在以上研究的基础上,将Bäcklund变换反复作用于Burgers方程的零解,从而得到Burgers方程的许多精确解,进而分析Burgers方程光滑和 (或)奇异扭结解相互作用的过程,并通过部分图形描述、分析非线性波动现象。

设u为Burgers方程 (3)的一个解,则由可积系统 (4)的第1个方程可得:

式中,c(t)是积分常数。将式(5)代入系统(4)的第2个方程可以得到函数c(t)所满足的常微分方程,由该常微分方程的解即可得到Burgers方程的解。

结果1 将u0(x,t)≡0代入系统(4)并取参数λ=λ1可得Burgers方程的解:

注1 u1是行波解。当参数λ1＞0时,它是一个光滑扭结,而当λ1＜0时,它是一个奇异扭结。

例1 当λ1=1时,u1是一个光滑扭结;当λ1=-1时,u1是一个奇异扭结 (见图1)。

结果2 将u1(x,t)代入(4)并取参数λ=λ2可得Burgers方程的解:

注2 u2可看成是2个光滑和(或)奇异扭结的相互作用,共有以下3种情形:①u2若是2个光滑扭结相互作用的过程,结果是1个光滑扭结;②u2若是1个光滑扭结与1个奇异扭结的相互作用,结果是1个奇异扭结;③u2若是2个奇异扭结相互作用的过程,结果也是1个光滑扭结。

例 2 当 λ1=-2,λ2=-1时,u2就是2个奇异扭结相互作用的过程,结果是1个光滑扭结 (见图2)。

图1 光滑扭结(左)和奇异扭结(右)

图2 2个奇异扭结的相互作用过程

结果3 将u2(x,t)代入(4)并取参数λ=λ3可得Burgers方程的解:

注3 u3可看成是3个光滑和 (或)奇异扭结解的相互作用,共有以下6种情形:①u3若是3个光滑扭结的相互作用,结果是1个光滑扭结;②u3若是1个光滑扭结和2个奇异扭结 (光滑扭结位于2个奇异扭结之间)的相互作用,结果是1个光滑扭结;③u3若是另外一种1个光滑扭结和2个奇异扭结(2个奇异扭结为邻)的相互作用,结果也是1个光滑扭结;④u3若是1个奇异扭结和2个光滑扭结(2个光滑扭结为邻)的相互作用,结果是1个奇异扭结;⑤u3若是另一种1个奇异扭结和2个光滑扭结 (奇异扭结在2个光滑扭结之间)的相互作用,结果也是1个奇异扭结;⑥u3若是3个奇异扭结的相互作用,结果也是1个奇异扭结。

例3 当λ1=-3,λ2=-2,λ3=-1时,u3就是3个奇异扭结的相互作用,结果是1个奇异扭结(见图3)。

图3 3个奇异扭结的相互作用过程

一般地,将Bäcklund变换连续n次作用于Burgers方程的零解u0(x,t)≡0,并且每次取不同的参数λk(1≤k≤n),则可得到Burgers方程的解un(x,t),它可看成是n个(光滑和(或)奇异)扭结的相互作用。不管这n个扭结的相对位置如何,当奇异扭结的个数是偶数时,作用的结果是1个光滑扭结;而当奇异扭结的个数是奇数时,作用的结果是1个奇异扭结。

[1]王理凡.一类二阶非线性偏微分方程Bäecklund变换的分类 [J].浙江大学学报 (理学版),2011,38(1):19-21.

[2]Cao X,Wu H,Xu C.On Miura transformationsamong nonlinear partial differential equations[J].JMath Phys,2006,47:083515.

[3]Byrnes S G.Bäcklund transformations and they equation[J].J Math Phys,1976,17:836-842.

[4]Mclaughlin D W,Scott A C.A restricted Bäcklund transformations zx=F(x,y,z)[J].J Math Phys,1973,14:1817-1828.

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