一道2011年湖北省数学高考试题的图像妙解

●张世林 (巴东市第一中学 湖北巴东 444300) ●谭 斌 (恩施高级中学 湖北恩施 445000)

一道2011年湖北省数学高考试题的图像妙解

●张世林 (巴东市第一中学 湖北巴东 444300) ●谭 斌 (恩施高级中学 湖北恩施 445000)

2011年湖北省数学高考文科试题第20题:

设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a，g(x)=x2－3x+2，其中 x∈R，a，b为常数，已知曲线 y=f(x)与y=g(x)在点(2，0)处有相同的切线l．

(1)求a，b的值，并写出切线l的方程;

(2)若方程f(x)+g(x)=mx有3个互不相同的实根0，x1，x2，其中 x1＜ x2，且对任意的 x∈［x1，x2］，f(x)+g(x)＜m(x－1)恒成立，求实数 m 的取值范围．

本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想．

第(1)小题比较简单，易得 a=－2，b=5，l:x－y－2=0．第(2)小题大部分考生感觉题目似曾相识，但又不合常规，解答起来困难不小．下面笔者用图像法进行求解，比参考答案要简单、明了．

解(2)由第(1)小题可将方程 f(x)+g(x)=mx化为

设 h(x)=x(x2－3x+2 －m)，由题意知 x1，x2是方程x2－3x+2－m=0的2个根，因此

图1