小波分析在系统辨识中的应用

许晓宁

（宁波第二高级技工学校，浙江 宁波 315000）

小波理论的出现吸引了许多领域的学者对之进行深入研究。小波变换被认为是Fourier 分析发展的新阶段，具有许多其它时－频域分析所不具备的优良特性,如正交性、方向选择性、可变的时频域分辨率、可调整的局部支持以及分析数据量小等。这些良好的分析特性促使小波变换成为信号处理的一种强有力的新工具和手段。另外，小波变换的多尺度分解特性更加符合人类的视觉机制，与计算机视觉中由粗到细的认识过程十分相似，更加适合图像信息的处理。

1 小波在系统辨识中经常要利用的特点

1.1 可构成函数基

小波变换类似于Fourier 变换，可将信号按函数基的形式展开。经典的Fourier 变换把平稳信号表示为具有不同频率的正、余弦函数的线性迭加，能较好地刻画平稳信号的频率特性。

连续小波是尺度参数a 和平移参数b 均连续取值的小波函数。一般在实际应用中，对a 和b进行离散化处理，所得的离散小波可以构成一个函数基。通过小波分解，可将信一号按小波基的形式展开。正交小波基可以没有冗余地获得信号的局部信息，意味着可以通过分解系数重构原信号。它适用于数据压缩、信噪分离、非线性系统辨识等领域。满足框架性的非正交小波基由于提供了对函数的冗余表示，也能完全刻画函数，并从函数的分解中重构该函数。其优点在于数值计算稳定，计算误差的影响小，对干扰的鲁棒性好。非正交小波基常用在高维非线性函数逼近领域。

1.2 在时域和频域内具有局域化的能力

传统的信号分析建立在Fourier 变换的基础上，主要针对平稳信号进行处理，不能同时满足信号在时、频两域上进行局部分析的要求。而这种要求却恰恰是处理非平稳信号最根本和最关键的技术。为了分析和处理非平稳信号，人们对Fourier 分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论，小波分析理论即是Fourier 分析理论的一大突破。小波变换由于采用了自适应窗口，可以在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，因而在时频两域上可同时进行局部分析，被誉为分析信号的显微镜。

1.3 可以进行多尺度分析

信号在不同尺度下的小波变换反映了信号在不同尺度空间中的信息。通过变换尺度，可得到具有多尺度分析的信息表达，更深人地了解信号的特征。频域内的多尺度分析实质上描述了小波的分频性能。

L.A.Zadeh 定义的辨识：输入输出数据、模型类以及等价准则:

①输人/输出数据。能够量测到的被辨识系统的输人/输出量测数据。

②模型类。所考虑的系统的辨识结构。

③等价原则。辨识的优化和检验目标。

由于实际中不可能寻找到一个与实际系统完全等价的模型，因此，从实际的观点看，辨识就是从一组模型中选择一个模型，按照某种原则，使之最佳地拟合被辨识系统的动态或静态特性。

从不同角度看，辨识模型可有几种常见的分类，针对不同的辨一识模型，小波分析在系统辨识中有不同的应用形式。

2 利用函数逼近的形式建立系统的非参数模型

从形式上看，小波重构与函数估计非常相似，小波逼近论属于小波分析领域中的一个重要分支。DavidL.Donoho 和I.Johnstone 提出用小波收缩的方法从带有噪声的采样数据中估计一维未知的非线性函数，这标志着小波分析用于非线性函数估计的开始。之后，他们又提出了对高维非线性函数的估计方法。B.Delyon,A.Juditskey 等人,指出了用符合框架性条件的小波基函数对非线性高维函数进行估计是一致收敛的，在理论上证明了小波估计的准确性，并且指出了小波估计的误差界。由于小波分解公式与单层前向神经网络的相似性，指出了小波网络的一致收敛并给出了估计的误差界，这就为小波网络的设计提供了理论依据。

相比于早期采用的Volterra 和Wiener 级数法进行非线性系统辨识计算量大、实际应用困难等问题，引出利用小波级数能更好、更快地逼近任意非线性函数。用小波级数作为并联模型，实现了非线性系统的模型参考辨识。由于采用基于空间的正交小波基的多尺度分辨，辨识精度大大提高，且算法简单，计算量小，收敛速度很快。

3 利用系统响应的小波变换建立系统的时域模型

在古典控制理论中，典型的非参数模型辨识是指从一个实际系统的实验过程直接或间接得到系统响应模型，包括阶跃响应、脉冲响应、频率特性等，提取出系统在时域或频域中的特征。

这类应用主要是利用小波变换能进行多尺度分析的特点，及其小波分析在时域和频域内具有局域化的能力，可以对系统响应进行小波变换提取系统的主要特征并以此来设计控制器，可降低设计过程中对数学模型的依赖性。这为控制系统的分析和设计提供了新的思路。利用高斯函数的一阶函数作为基本小波函数，对几种典型环节的单位阶跃响应进行小波变换，并分析了响应小波的过零点和极值点等重要参数与典型环节的各参数及其某些性能指标之间的关系，发现了一些规律，使得能用小波函数大致估计出系统的响应特性，从而能进一步建立更加复杂的模型与小波变换的关系。

以正交小波函数展开的形式表示单变量线性连续系统的脉冲响应，采用多尺度变换以得到一种类似于频域方法的辨识算法，由于正交小波函数在时域和频域上都是紧支的，即使在很大的信噪比情况下也可得到较高的辨识精度。文中给出了有噪声和无噪声两种情况下与相关分析法的比较结果，充分说明了这一点。

4 小波网络在系统辨识中的应用

小波网络是在小波分解的基础上提出的一种前向神经网络，结构类似于径向基网络，隐层节点的激发函数以小波函数基来替代，输人层到隐层的权值和阀值分别对应小波的仲缩和平移参数。它与其它前向神经网络一样都具有任意逼近非线性函数的能力。小波分析在理论上保证了小波网络在非线性函数逼近中所具有的快速性、准确性和全局收敛性等优点。由小波变换的特点决定小波网络基函数具有可调的尺度参数，选用低尺度参数可以学习光滑函数，提高尺度可以较高精度学习局部奇异函数。网络系数与小波分解有明确的联系，这有助于从平移参数和尺度参数的物理意义上确定小波函数基的选择，为初始化小波网络系数提供了可能。

近十年来，小波网络作为一种有突出特点的前向神经网络受到较多的关注和重视。小波网络的结构确定和参数设置可借助小波分析理论进行指导，其权值学习算法也较常规神经网络简单，并且误差函数对于权值是线性的，其学习不存在局部极小点，收敛速度较快。在函数逼近方面具有最佳逼近和全局逼近的能力。由于小波函数具有快速衰减性，因此它属于局部逼近网络，与全局网络相比具有收敛速度快、易适应新数据、可以避免较大的外推误差等优点。又分析了小波网络的非线性函数逼近能力。使用小波网络也可以应用于非线性函数学习、动态系统辨识等方面。

[1]张旭俊.用小波变换矩阵作小波分析[J].电力系统自动化，1999-12-30.

[2]孙崟培，王朝英.小波分析和小波包在图像消噪中的应用[J].通信技术，2009-01-10.