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生活中的数学

2010-12-31曹亮吉

飞碟探索 2010年11期
关键词:数与形通性斑马

■ 曹亮吉

一般人学数学到底要学什么呢?从实用的观点来看,答案是学会算术计算,及一点点的几何与代数。在考试至上的气氛熏陶下,答案是背诵及套用公式,做各种(复杂)的计算。近年来,想法渐有改变,认为学会寻求数与形的规律及过程,是学习数学的主要目的。

从寻求数与形的规律,可往二个方向延伸。规律是规则与定律,是严格的,无例外的。然而通性、风格、式样、花样、大要、样式、形态、图样、结构、特色、模式等等,多多少少有规律可循,可视为广义的规律,其实也可以是学数学所要学的。广义的规律,我们称之为胚腾。

另一方面,天地之间的万事万物,莫不隐藏有数与形,及数与形的胚腾。把学习数学的眼界从纯粹的数与形,以及狭义的规则与定律,提升到隐藏于万事万物中的数与形,以及广义的规则与定律──胚腾,数学不再是枯燥抽象的,不再是似乎很有用,但不知用在哪里的东西。

经过察觉、转化、解题、沟通及评析等步骤,把数学和生活以及其他学习领域连结在一起,数学才能变成具体而有用。新实施的中小学数学课程强调的一个重点,就是数学的连结。

人是寻求规律的动物

人是寻求规律的动物,从语文及数数目发展的过程就可看出端倪。

语文要是没有规律,彼此无法沟通,就不成为语文。语文的规律大致有二个层次。一个是大体的结构,譬如字序,中文的“狗咬我”和“我咬狗”,意义完全不同,而日文要把“狗咬我”说成“我(被) 狗咬(了)”。又譬如,必要时,时间、空间要讲清楚,否则不知道你讲的是何时何地的事。另一个层次是较细致的变化,譬如英文动词过去式的语尾变化,中文因类不同的各种数量值用法(个、只、颗、粒……)。

小孩子学语文,结构层次的规律

很快就掌握得差不多,细致变化的那一层次则会引起一些学习的困扰,因为规律大致是有的,但不清楚或例外的地方也不少。人类在发展语文的过程中,认识到现在与过去需要有所区别,于是英文就用不同的字代表现在与过去,所以一些常用动词都是不规则的。不规则动词一多,使用就不方便,于是发展了以ed代表过去的规律。不过,已经有的不规则动词早已成了文化的一部分,只好任其不规则。然而,人到底是寻求规律的动物,于是许多现在已不常用的不规则动词,如dwell(住;通常用live表之) 的过去式dwelt就很少人会用,而dwelled也逐渐取得合法的地位。相信这样发展下去,英文的不规则动词会愈来愈少。

中文数量值的用法,常常和归类有关。有脚动物归成一类(人除外),以“只”数之;长条形的东西以“条”数之等等。归类自然得寻找共同的表征,也就是寻求规律。当然,老祖宗在发展数量值的过程中,归类的工作没做到非常科学。“颗”与“粒”怎么区别?大体来说,粒指颗粒状中较小者,颗则大小通用。粒可大到怎样的程度?我们说一粒苹果或一颗苹果都可以,显然粒至少可用到大如苹果者。不过比苹果稍小的心脏不能以粒来数。另一极端,在闽南语中,我们常说一粒西瓜,不说一颗西瓜,而用普通话,则说一个西瓜,少说一颗西瓜。我相信应规律化之趋势,数量值会愈来愈简化。

数数目的规律

英文的11(eleven)是 10余 1的意思,12(twelve)是 10余 2的意思,13(thirteen)是3加10的意思,一直到19都是加法的想法。过了20规律建立了,先说整的部分,再说零头的部分,从此往下数就很顺畅。很多语文都有类似的发展过程,开始慢慢数,后来数出心得,数出规律来。像中文很早就建立了十进制的数数法规律,是很难得的。

人是寻求规律的动物。观察了天象,知道天体运行的规律,还进一步建立历法来规范作息。历史学家寻求朝代改变的规律,想以此作为借鉴。地理学家注意到,在地球上,无论南半球还是北半球,只要在纬度30°与40°之间靠海的陆地,夏天气候一定是炎热干燥,冬天都是温和潮湿,因此都有类似的植物生态。

数学里有许许多多不很复杂的规律可让学生去寻求。寻求规律很有趣,而且可以累积许多经验,以便用于其他领域中规律的寻求。

寻找规律

语文的发展从凌乱开始,渐渐约定俗成,有了规律,再来简化规律。这样的发展过程本身也呈现一种通性——许多语文都是这样发展的。

数数目数到某个阶段,豁然开通,懂得十进制的原理,从此以后数得顺畅,这也是小孩子数数目的通性。但是中文的数数目,却没留下最前阶段数得不顺畅的痕迹。

规律给人的印象是一成不变,通性则是模糊之中大致有个规律;通性是广义的规律。

成名的画家,他的画有一定的风格,有欣赏能力的,一眼就看得出。风格不是严格的规律,它有变化的空间,顶多是广义的规律。

流行的服饰有一定的式样,大家争相模仿,不过剪裁要合身,花样也可以投己所好。式样也不是狭义的规律。

一本介绍考古的书籍说,限于篇幅,只能举出一些实例,让读者感受到考古学的大要。

通性、风格、式样、花样、大要等等,都表示有某种规律,但比较倾向定性型的,而非定量型的。有没有一个词,可以统摄这些似乎有某些共同性质的多种面貌,就像规律泛指规则、定律那样。中文似乎没有,我们暂以x表之。x可解为广义的规律,不过它是个衍生词,有点啰唆,不是好的解。我们要为x找个适当的名字。

学数学是寻求事物背景中有关数与形的规律。现在,人不但寻求规律,更试图了解x,那么数与形中是否一样有x,值得数学的关注。

斑 马

提起斑马,眼前马上浮现黑白相间的条纹。黑白相间有形的顺序感,条纹的多寡有数的量感。再留意一下,有些斑马的条纹比较宽,看起来比较疏,有些比较窄,看起来比较密。分开看不觉得,摆在一起就很显眼。

这里有没有数学?有的,宽窄的相对比较。数学就条纹这个表征,认定斑马至少有二种,宽纹斑马和窄纹斑马。数学方式的分类有没有道理?有的,生物学家说,宽纹的叫做草原斑马,产于非洲东部及南部的草原区;窄纹的叫做格利威斑马,产于非洲北部的灌木区,而且腹部白色无条纹。另外还有一种产于西南非高地的山斑马,其臀部有格子式的斑纹。

我们不好说条纹的几何规律不一样,我们说条纹的几何样式不一样。x有了新的例子:样式。就条纹的表征,依几何的样式分类是数学的工作。

从数学看出斑马可分若干种,那么要不要追出分种的源头?有的数学家比较保守,认为那是生物学家的专属。触及生物领域已经有多管闲事的顾忌,何况还要深入其境。有的数学家比较积极,不但要研究生物背景中数与形的x,还要透视造成x的来源与机制。他们预创了形态数学,作为日益扩张中之生物数学的一个分支。

其实就学习的观点,管它专属数学还是生物,有趣的就该快乐的学。

通性、风格、式样、花样、大要等等,都是x的不同面貌,还有,在数学中,除了规律之外,又可找到许多x的变身,像样式、形态、图样、结构、特色、模式等等。大抵说来,这些用词或代表状况之特征,或变化之特色。那么该给x什么样的名字呢?

英文有个字可以代表这样的x,称为pattern,pattern译成中文是什么呢?随着上下文各有不同的译法,上面所提到的各种名词都有可能,而且还有其他的可能。在数学文献中,有人译成模式,有人主张样式。样式的身段比较柔软,似乎更能呈现x的定性特质。

(晓东摘自《阿草的数学圣杯》,有删节)

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