生活中的数学

■ 曹亮吉

一般人学数学到底要学什么呢？从实用的观点来看，答案是学会算术计算，及一点点的几何与代数。在考试至上的气氛熏陶下，答案是背诵及套用公式，做各种（复杂）的计算。近年来，想法渐有改变，认为学会寻求数与形的规律及过程，是学习数学的主要目的。

从寻求数与形的规律，可往二个方向延伸。规律是规则与定律，是严格的，无例外的。然而通性、风格、式样、花样、大要、样式、形态、图样、结构、特色、模式等等，多多少少有规律可循，可视为广义的规律，其实也可以是学数学所要学的。广义的规律，我们称之为胚腾。

另一方面，天地之间的万事万物，莫不隐藏有数与形，及数与形的胚腾。把学习数学的眼界从纯粹的数与形，以及狭义的规则与定律，提升到隐藏于万事万物中的数与形，以及广义的规则与定律──胚腾，数学不再是枯燥抽象的，不再是似乎很有用，但不知用在哪里的东西。

经过察觉、转化、解题、沟通及评析等步骤，把数学和生活以及其他学习领域连结在一起，数学才能变成具体而有用。新实施的中小学数学课程强调的一个重点，就是数学的连结。

人是寻求规律的动物

人是寻求规律的动物，从语文及数数目发展的过程就可看出端倪。

语文要是没有规律，彼此无法沟通，就不成为语文。语文的规律大致有二个层次。一个是大体的结构，譬如字序，中文的“狗咬我”和“我咬狗”，意义完全不同，而日文要把“狗咬我”说成“我（被） 狗咬（了）”。又譬如，必要时，时间、空间要讲清楚，否则不知道你讲的是何时何地的事。另一个层次是较细致的变化，譬如英文动词过去式的语尾变化，中文因类不同的各种数量值用法（个、只、颗、粒……）。

小孩子学语文，结构层次的规律

很快就掌握得差不多，细致变化的那一层次则会引起一些学习的困扰，因为规律大致是有的，但不清楚或例外的地方也不少。人类在发展语文的过程中，认识到现在与过去需要有所区别，于是英文就用不同的字代表现在与过去，所以一些常用动词都是不规则的。不规则动词一多，使用就不方便，于是发展了以ed代表过去的规律。不过，已经有的不规则动词早已成了文化的一部分，只好任其不规则。然而，人到底是寻求规律的动物，于是许多现在已不常用的不规则动词，如dwell（住；通常用live表之） 的过去式dwelt就很少人会用，而dwelled也逐渐取得合法的地位。相信这样发展下去，英文的不规则动词会愈来愈少。

中文数量值的用法，常常和归类有关。有脚动物归成一类（人除外），以“只”数之；长条形的东西以“条”数之等等。归类自然得寻找共同的表征，也就是寻求规律。当然，老祖宗在发展数量值的过程中，归类的工作没做到非常科学。“颗”与“粒”怎么区别？大体来说，粒指颗粒状中较小者，颗则大小通用。粒可大到怎样的程度？我们说一粒苹果或一颗苹果都可以，显然粒至少可用到大如苹果者。不过比苹果稍小的心脏不能以粒来数。另一极端，在闽南语中，我们常说一粒西瓜，不说一颗西瓜，而用普通话，则说一个西瓜，少说一颗西瓜。我相信应规律化之趋势，数量值会愈来愈简化。

数数目的规律

英文的11（eleven）是 10余 1的意思，12（twelve）是 10余 2的意思，13（thirteen）是3加10的意思，一直到19都是加法的想法。过了20规律建立了，先说整的部分，再说零头的部分，从此往下数就很顺畅。很多语文都有类似的发展过程，开始慢慢数，后来数出心得，数出规律来。像中文很早就建立了十进制的数数法规律，是很难得的。

人是寻求规律的动物。观察了天象，知道天体运行的规律，还进一步建立历法来规范作息。历史学家寻求朝代改变的规律，想以此作为借鉴。地理学家注意到，在地球上，无论南半球还是北半球，只要在纬度30°与40°之间靠海的陆地，夏天气候一定是炎热干燥，冬天都是温和潮湿，因此都有类似的植物生态。

数学里有许许多多不很复杂的规律可让学生去寻求。寻求规律很有趣，而且可以累积许多经验，以便用于其他领域中规律的寻求。

寻找规律

语文的发展从凌乱开始，渐渐约定俗成，有了规律，再来简化规律。这样的发展过程本身也呈现一种通性——许多语文都是这样发展的。

数数目数到某个阶段，豁然开通，懂得十进制的原理，从此以后数得顺畅，这也是小孩子数数目的通性。但是中文的数数目，却没留下最前阶段数得不顺畅的痕迹。

规律给人的印象是一成不变，通性则是模糊之中大致有个规律；通性是广义的规律。

成名的画家，他的画有一定的风格，有欣赏能力的，一眼就看得出。风格不是严格的规律，它有变化的空间，顶多是广义的规律。

流行的服饰有一定的式样，大家争相模仿，不过剪裁要合身，花样也可以投己所好。式样也不是狭义的规律。

一本介绍考古的书籍说，限于篇幅，只能举出一些实例，让读者感受到考古学的大要。

通性、风格、式样、花样、大要等等，都表示有某种规律，但比较倾向定性型的，而非定量型的。有没有一个词，可以统摄这些似乎有某些共同性质的多种面貌，就像规律泛指规则、定律那样。中文似乎没有，我们暂以x表之。x可解为广义的规律，不过它是个衍生词，有点啰唆，不是好的解。我们要为x找个适当的名字。

学数学是寻求事物背景中有关数与形的规律。现在，人不但寻求规律，更试图了解x，那么数与形中是否一样有x，值得数学的关注。

斑 马

提起斑马，眼前马上浮现黑白相间的条纹。黑白相间有形的顺序感，条纹的多寡有数的量感。再留意一下，有些斑马的条纹比较宽，看起来比较疏，有些比较窄，看起来比较密。分开看不觉得，摆在一起就很显眼。

这里有没有数学？有的，宽窄的相对比较。数学就条纹这个表征，认定斑马至少有二种，宽纹斑马和窄纹斑马。数学方式的分类有没有道理？有的，生物学家说，宽纹的叫做草原斑马，产于非洲东部及南部的草原区；窄纹的叫做格利威斑马，产于非洲北部的灌木区，而且腹部白色无条纹。另外还有一种产于西南非高地的山斑马，其臀部有格子式的斑纹。

我们不好说条纹的几何规律不一样，我们说条纹的几何样式不一样。x有了新的例子：样式。就条纹的表征，依几何的样式分类是数学的工作。

从数学看出斑马可分若干种，那么要不要追出分种的源头？有的数学家比较保守，认为那是生物学家的专属。触及生物领域已经有多管闲事的顾忌，何况还要深入其境。有的数学家比较积极，不但要研究生物背景中数与形的x，还要透视造成x的来源与机制。他们预创了形态数学，作为日益扩张中之生物数学的一个分支。

其实就学习的观点，管它专属数学还是生物，有趣的就该快乐的学。

通性、风格、式样、花样、大要等等，都是x的不同面貌，还有，在数学中，除了规律之外，又可找到许多x的变身，像样式、形态、图样、结构、特色、模式等等。大抵说来，这些用词或代表状况之特征，或变化之特色。那么该给x什么样的名字呢？

英文有个字可以代表这样的x，称为pattern，pattern译成中文是什么呢？随着上下文各有不同的译法，上面所提到的各种名词都有可能，而且还有其他的可能。在数学文献中，有人译成模式，有人主张样式。样式的身段比较柔软，似乎更能呈现x的定性特质。

（晓东摘自《阿草的数学圣杯》，有删节）