二阶微分方程周期边值问题解的存在性

周媛媛

(徐州师范大学 科文学院,江苏 徐州 221116)

二阶微分方程周期边值问题解的存在性

周媛媛

(徐州师范大学 科文学院,江苏 徐州 221116)

为了进一步研究常微分方程周期边值问题解的存在性,利用上下解方法和拓扑度理论,构造两个新的比较定理,获得了二阶常微分方程周期边值问题解的两个存在性定理,此时仅要求f满足比单边 Lipschitz条件更弱的条件,且不要求上下解满足常见的边界条件。对于上下解反向给定时,亦建立了相应的解的存在性定理。文中给出的数值表达式在形式上更简洁,更易验证,且条件更宽,改进了已有结果。

周期边值问题;上下解;反向上下解

微分方程周期解问题一直受到人们的广泛关注[1-5]。文中主要讨论二阶微分方程周期边值问题

解的存在性,其中f∈C[I×R,R]。对这个问题的研究方法较多,其中利用上下解是常见的重要方法之一[6-8],但以往的上下解定义的形式多为:

α(t)≤β(t),t∈I,而对于下解α与上解β不满足边界条件

以及上下解为反向形式:β(t)≤α(t),t∈I的情形,关于周期边值问题(1)、(2)解的存在性讨论,相关工作不多见,主要因为此时的比较定理的建立较为困难。一些学者[7-8]利用单调迭代法证明了在上下解不满足条件(4)的情况下问题(1)、(2)的解的存在性。周友明[6]在单边 Lipschitz条件和存在满足式(3)的反向上下解等条件时利用迭代方法证明了问题(1)、(2)解的存在性。笔者在已有研究的基础上,针对该问题进行了深入讨论。

1 预备知识

2 主要结果及证明

3 应用举例

就正向上、下解和反向上、下解分别举例。

例1 考虑周期边值问题

[1] 李 波,刘文斌.三阶非线性常微分方程的周期边值问题[J].数学研究,2005,38(2):163-168.

[2] 罗治国,王卫兵.二阶微分方程反周期边值问题解的存在性[J].应用数学学报,2006,29(6):1 111-1 117.

[3] YAO Q INGL IU.Positive solutions of nonlinear second-order periodic boundary value problems[J].Applied Mathamatics Letters, 2007,20(5):583-590.

[4] 郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科学技术出版社,1995.

[5] 陈 洁.一阶微分方程周期边值问题的解的存在性[J].数学物理学报:A辑,2003,23(2):129-134.

[6] 周友明.Banach空间中二阶微分方程的周期边值问题[J].应用数学学报,2006,29:436-444.

[7] LAKSHM IKANTHAM V,LEELA S.Remarks on first and second order periodic boundary value problems[J].Nonlinear Analysis, 1984,8(3):281-287.

[8] CABADA A,N IETO J J.A generalization of the monotone iterative technique for nonlinear second-order periodic boundary value problems[J].J Math AnalApplc,1990,151(1):181-189.

[9] 暴宁伟.一类高阶微分方程边值问题正解的存在性[J].河北工程大学学报:自然科学版,2007,24(2):108-110.

On existence of solutions for PBVP of second order differential equations

ZHOU Yuanyuan
(Kewen Institute,Xuzhou NormalUniversity,Xuzhou 221116,China)

This paper presents an attempt to investigate the existence of solutions for periodic boundary value problems(PBVP)of ordinary differential equations,and introduces two existence theorems of solutions of the PBVP for second order differential equations are obtained by using the method of upper and lower solutions and the topological degree theory and establishing two new comparison theorem,wherefsatisfies some weaker conditions than the one-side Lipschitz condition and the lower and upper solutions need not satisfy the common boundary relations.Furthe rmore,the s imilar existence theorems are also obtained in the case when upper and lower solutions are in the reversed order.The paper features the mathematical expressions,s impler in fo rm and easier to verify.The results improve the relative conclusions in the early t imes.

periodic boundary value problems;upper and lower solutions;upper and lower solutions in reversed order

O175.8

A

1671-0118(2010)01-0159-05

2009-11-07

周媛媛(1981-),女,江苏省宿迁人,讲师,硕士,研究方向:微分方程理论与应用,E-mail:z4081@sina.com。

(编辑王 冬)