考虑共因失效的多态系统可靠性优化

李春洋 陈 循 易晓山

国防科学技术大学,长沙,410073

0 引言

常规系统可靠性分析中有两个基本假设:①系统或单元只有“正常工作”和“完全失效”两种状态;②各单元的失效是相互独立的。这样的假设确实能够为解决实际问题带来很大的方便,但是这些假设又使得问题过于简单,并不能真实地反映实际情况。首先,很多系统不仅有“正常工作”和“完全失效”两种状态,在两者之间还存在很多种工作状态,即系统是多态的[1,2];其次,系统中各单元的失效有时并不是相互独立的,特别是一些大型、复杂的机电系统,相关失效是一个普遍的特征。如果忽略系统失效的相关性,简单地在系统各单元失效相互独立的假设下进行系统可靠性分析与计算,常常会导致过大误差[3]。共因失效是相关失效中一种十分广泛的形式,它是由于某种共同的原因导致多个单元同时失效,共因失效对利用单元冗余提高系统可靠性的方法有很大影响。

目前,国外学者对多态系统可靠性优化做了不少研究工作。文献[4-5]研究了多态串—并联系统的可靠性冗余配置优化问题,并分析了在可用度的约束下,针对资源需求固定情况,使系统费用最少的问题。文献[6]研究了考虑维修策略的多态系统可靠性冗余配置优化问题。文献[7]利用物理规划方法和遗传算法解决了多态系统可靠性冗余配置多目标优化问题。但这些文献中的优化模型都是建立在多态系统各单元失效相互独立的基础上,而对于考虑共因失效的多态系统可靠性优化没有研究。虽然文献[8-9]研究了考虑共因失效的可靠性优化问题,但所分析的系统都是常规系统可靠性中的二态系统,并不是多态系统。文献[10]对考虑共因失效的多态系统可靠性进行了分析,但对于在多态系统设计阶段时如何进行可靠性优化设计没有分析。本文在以上文献的基础上,将共因失效分析和多态系统可靠性优化相结合,分析考虑共因失效的多态系统可靠性冗余配置优化问题,并利用遗传算法对考虑共因失效的多态系统可靠性优化问题进行求解。

1 优化模型

图1所示的多态串—并联系统含有n个子系统,每个子系统i由mi种可供选择的单元并联组成。定义每种类型单元的性能为gij,可靠度为Rij,价格为cij,子系统i的单元冗余数量为ri,系统的费用为C,可靠度为R,假设子系统i由于受环境因素影响,形成共因失效组。

根据可供选择的单元,研究在满足一定约束条件下,通过确定最优的单元类型和最优的冗余数量,使系统费用最少或者可靠度最大的问题就是可靠性冗余配置优化问题。对于图1所示的系统,以可靠度为约束条件,以费用最少为目标,建立优化模型:

式中,R0为系统允许的最小可靠度;Ni为子系统i允许的最大冗余数量,i=1,2,…,n;j=1,2,…,mi。

要解决该问题,首先需要计算系统可靠度R,然后采用优化算法对优化模型进行求解。由于该优化问题是一个NP—hard问题,采用传统的优化算法难以求解,文本采用遗传算法进行求解。

2 多态系统可靠度计算

分析之前,做如下假设:①系统和单元不可修;②各子系统内的单元完全相同,且只有正常工作和完全失效两种状态;③不同的单元失效会引起系统呈现多种状态,即系统是多态系统。

2.1 失效独立的多态系统可靠度计算方法

多态系统可靠度计算有结构函数法、马尔科夫过程、蒙特卡罗仿真和通用生成函数(universal generating function)四种方法。通用生成函数是解决多态系统可靠度计算问题应用较好的方法,它能够明确地表达单元状态概率、性能与系统状态概率和性能的关系,并且可以通过简单的运算由单元的通用生成函数得到系统的通用生成函数,它具有计算速度快,适用范围广等特点,这在多态系统可靠性优化分析中很有优势,所以通用生成函数在多态系统可靠性优化中应用广泛[1]。

设单元有M种状态,单元的性能和对应的状态概率分别为{g1,g2,…,gM}、{q1,q2,…,qM},其中ql=Pr{G=gl},G为单元的性能参数,l=1,2,…,M。则单元的通用生成函数(U函数)为

U函数将单元的状态和单元处于这些状态时的概率联系了起来,利用各单元的U函数,采取复合运算就可以得到系统的U函数:

式中,s为系统状态,s=1,2,…,M;Ms为系统的状态数;Ps为系统状态为s时的状态概率;Ws为系统状态为s时的系统性能。

系统的U函数表示系统的状态分布和系统处于各状态时的概率,如果系统需求是系统性能不低于w,则可以得到系统的可靠度为

根据假设条件(2),即单元只有正常工作和完全失效两种状态,则gij={gij,0},Rij={Rij,1—Rij},代入式(5),得单元的U函数为

若子系统的工作任务由各并联单元共同分担,则子系统i的U函数为

系统的U函数通过复合运算式(6)即可得到。

2.2 考虑共因失效的多态系统可靠度计算方法

考虑共因失效时,需要对上面的计算过程进行改进,分以下两种情况[10]:

(1)发生共因失效时,共因失效组中所有单元全部失效。对于只存在单元独立失效和共因失效组全部失效两种失效形式的情况(如在爆炸和冲击的作用下,单元全部失效),共因失效组子系统的通用生成函数为

式中,Ui(z)为单元独立失效时,共因失效组的U函数;β为共因失效的发生概率;xc为共因失效组发生共因失效时,共因失效组的输出性能。

将Uic(z)与其他非共因失效组子系统的U函数通过复合运算式(6)进行计算,即可得系统U函数。

(2)全面考虑共因失效组各重共因失效。此时,在U函数中加入指针矢量,将U函数式(5)改进为V函数:

式中,sl为指针矢量,维数为n,用于表示该单元是否属于共因失效组,以及属于哪个共因失效组。

在计算系统的V函数过程中,属于共因失效组的单元的状态概率ql用1代替,非共因失效组的单元的状态概率不予置换。通过类似U函数的复合运算,得到系统的V函数如下:

最后,将系统的V函数转化为U函数,通过下式实现:

式中,~Pi,j(t)为共因失效组i中j重共因失效不发生的概率。

3 利用遗传算法求解优化模型

遗传算法求解优化模型式(1)～式(4)的相关流程和设置如下[12]:

(1)编码。本文采用实数编码,定义每个染色体的形式为vk=(bk1,bk2,…,bkn,rk1,rk2,…,rkn),其中,bki表示子系统i选择的单元类型,rki表示选择单元的冗余数量,两者都为整数。

(2)产生初始群体。定义种群规模为pop_size,并随机产生pop_size个染色体,其中,染色体的每个基因位在其取值范围内随机取值,取值范围为1≤bki≤mi,1≤rki≤Ni。

(3)计算适应值。首先计算每个染色体所对应的系统费用Ck和系统可靠度Rk,对于不满足约束条件的染色体,定义如下的惩罚函数:

如果满足约束条件式(2),则适应值为 fk=Ck,不予惩罚;如果不满足约束条件式(2),给予惩罚,则适应值为 fk=Ck+K(R0—Rk),其中K是一个很大的正数。定义惩罚函数的目的是将优化算法引导到临近的最优可行解上,逐渐淘汰不可行解。

(4)选择。首先对适应值进行正规化标定:

式中,fmax和fmin分别为种群中最好和最坏的适应值;γ为很小的正实数,以防止分母为零。

对适应值进行正规化标定之后,采用赌轮盘法选择染色体进行交叉。

(5)交叉。对父代采用单点交叉以产生子代。定义交叉概率为Pc,选择两个父代,随机产生一个交叉点,交换两个父代染色体交叉点后的基因位,从而产生两个子代。

(6)变异。采用随机摄动进行变异。定义变异概率为Pm,在种群所有染色体的基因位中产生[0,1]之间的随机数,所有小于Pm的随机数所对应的基因位作为变异的基因位。对于一个选取变异的基因位Ji,用该基因位取值范围内的一个随机整数进行替代。

(7)产生新一代种群。为了避免最优的染色体经过交叉、变异之后,产生适应值较小的染色体,将当前群体中最优的部分染色体保留到下一代,和变异之后的染色体一起组成新一代种群。

(8)终止。遗传算法是一个反复迭代的过程,每一次迭代都要执行适应值计算、选择、交叉、变异等操作,直到满足终止条件。终止条件可以是规定的最大迭代代数或规定的最小偏差。

由于遗传算法的优化结果与初始种群的选择有关系,不同的初始种群可能会收敛于不同的局部最优解,而不是全局最优解。为了解决该问题,本文首先循环运算遗传算法pop_size次,计算出pop_size个解,然后将所得到的pop_size个解作为新的初始种群,再利用遗传算法求解,从而得到最终解,这样可以防止收敛于局部最优解。当然,这样处理时计算时间相对较长,可以通过调整种群规模pop_size和迭代代数来控制计算时间。

4 算例分析

分析文献[4]中的电力供煤系统,由主进料器和传送带子系统、堆垛运输机和次进料器子系统、卸料器子系统、锅炉子系统这4个部分串联而成,每个子系统由市场上可供选择的单元并联组成,每个子系统只能选择一种类型的单元。每种类型的单元有其对应的性能、可靠度和价格,如表1所示。要求系统的输出性能水平不小于0.8,并且系统可靠度不小于0.9,以市场上可供选择的单元进行合理搭配,实现费用最少的目标。

表1 可供选择单元的相关参数

假设各子系统允许的最大冗余数量为5,则可以建立如下的优化模型:

令种群规模pop_size=20,惩罚函数的系数K=100,正规化标定函数的参数γ=0.001,交叉概率Pc=0.8,变异概率Pm=0.02,终止条件为规定的迭代代数500。根据失效形式,分以下三种状况进行分析:

(1)不考虑共因失效。

(2)发生共因失效时,共因失效组中所有单元全部失效。假设子系统1、3会发生共因失效,发生共因失效的概率分别为0.010和0.015,发生共因失效时子系统1、3的所有单元均失效。

(3)全面考虑共因失效组各重共因失效。假设子系统1、3发生共因失效,发生各重共因失效的概率与所选择的单元有关,发生2重共因失效的概率为单元独立失效概率的1/2,发生3重共因失效的概率为 2重共因失效概率的1/2,依此类推。

三种状况的优化结果对比情况如表2所示。

表2 三种状况的优化结果对比

从三种状况的优化结果可以看出,在不同条件下,优化的结果相差很大。将不考虑共因失效的优化结果,分别代入考虑共因失效的状况2和状况3,可靠度为0.8859和0.8450,是不满足可靠度不小于0.9的约束条件的。这说明在考虑共因失效时,为了提高系统的可靠度,单纯地使用冗余已经不是一个很好的办法,而使用较高可靠度的单元有更好的效果。上面的分析中,考虑各重共因失效时,子系统3选择单元2而不选择独立失效时选择的单元1就是一个很好的说明。

5 结论

(1)本文利用遗传算法对考虑共因失效的多态系统可靠性优化问题进行了分析和求解,并且与不考虑共因失效的多态系统可靠性优化结果进行了对比。对比显示,两者的优化结果有较大的差别。由于共因失效削弱了冗余的效果,使得在进行可靠性优化设计时,对于易于发生共因失效的系统,需要采取与独立失效系统不同的可靠性设计方案,即不能简单地利用冗余设计提高系统可靠性,而应该根据费用情况选择更加可靠的单元。

(2)本文在分析中,假设单元只有两种状态,而且是不可修的,以后的研究可以进一步深入。

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