基于Lévy过程的沪深300指数建模*

许业友

(华南理工大学 金融工程研究中心， 广东 广州 510006)

资产定价是数理金融学的重要内容， 涉及到证券及其衍生产品的定价、 利率期限结构理论。金融衍生产品定价过程中， 需要对标的资产的价格运动过程作出假设。著名的Black-Scholes期权定价模型就假设标的资产价格过程为几何布朗运动， 也就是资产收益率服从正态分布。该模型在一系列严格假设的基础上， 得出了数学上近乎完美的欧式看涨期权的闭形解析公式。但正态分布对市场数据的拟合出现较大偏差， Black-Scholes期权定价模型受到质疑。实证研究表明金融资产的对数收益率的概率密布分布具有比正态分布大的峰度， 是有偏分布。收益率的波动率具有聚类现象， 并不为常数。为了更好地描述资产价格运动过程， 必须寻找能拟合市场的有偏、 超出峰度和波动率聚类等特征的分布。Lévy过程正是在这样的背景下被引入到金融应用中。本文拟利用Lévy过程中的Meixner过程对沪深300指数进行拟合， 并与正态分布进行比较。

一、 文献综述

大量实证研究表明股票市场收益率不符合正态分布， 而是明显偏离正态分布， 具有尖峰和厚尾等特性。Osborne在1964年描绘股票市场收益率的密度函数时， 就注意到了密度函数的尾部比本来应有的“近似正态”形状要肥胖； Cootner主编的经典文集《股票市场价格的随机性》发表后， 一般人都接受了价格变化的分布形状具有肥胖的尾部这一事实， 但对此正态性形状的偏离含义却无定论； Mandelbrot在1964年提出了收益率可能属于“稳定帕雷托”分布， 这种分布具有无定义或无限的方差， 严重动摇了股票市场收益率或价格变化的近似正态分布假说； Falma在1965年完整研究了股票日收益率， 发现收益率是负偏斜的， 在左边的尾部比在右边的尾部有更多的观测值； Sharpe在《资产组合理论和资本市场》中也注意到了这一点； Turner和Weigel在1990年对1928-1990年的S&P指数的日收益率进行了研究， 发现与正态分布相比较， S&P指数的日收益率分布是负偏斜的， 在均值附近有更大的收益率频数等。市场价格的非正态分布特性并不限于美国股票市场， Sterge在对欧洲美元合约的期货价格的研究中发生了同样的尖峰态分布， 非常大的价格变化出现次数相当于正态分布所预言的两到三倍(Peters， EE.， 1994)。[1]

相关文献对利用具体的Lévy过程拟合股票收益率作了详细的研究。Madan and Seneta (1987， 1990)建议使用方差伽玛过程(Variance Gamma process， VG process)。Eberlein和Keller (1995) 建议双曲模型(Hyperbolic Model)， 而Barndorff Nielsen (1995)则选择正态逆高斯分布。在一系列文献中， Eberlein和他的合作者建立了广义双曲模型(Generalized Hyperbolic Model)， 前述三种模型是广义双曲模型的特例。Carr et al.(2002)引入CGMY模型， 有些研究人员也称其为KoBoL模型。Schoutens(2002)利用Meixner过程对世界主要股票指数进行拟合， 相对于正态分布拟合， 取得了明显的改进效果。[2]

国内实证研究方面， 王新宇等(2006)分别采用稳定分布、 渐近帕累托分布和截断列维分布拟合中国股票市场收益统计分布， 对我国沪深股市收益的统计分布特征和市场风险规律进行了定量比较研究。实证研究发现中国股市收益分布的中间部分适合用稳定分布描述， 分布的尾部适合用尾部指数大于2 的渐近帕累托分布描述， 即是具有尖峰厚尾特征的有限方差不对称分布， 揭示出中国股市中高收益事件比低收益事件发生的更为频繁， 深圳市场比上海市场的投资风险要高。[3]李道叶(2007)则在非线性框架下研究了我国股市收益率特征。结论认为： 第一， 我国股票市场价格收益率行为不符合有效市场假定， 收益率分布存在明显尖峰厚尾行为， 收益率存在长期相关性与持续性。第二， 我国股票市场价格收益率行为存在周期性现象， 具有一定数量的非规则周期。第三， 异方差模型在我国股票市场能得到很好的拟合， 好坏消息对指数收益率变化的冲击是不对称的， 交易成本的上调对股票市场价格波动性有明显的影响， 而下调则影响甚微。第四， 如果把股票市场视为一个复杂性系统， 分形与混沌等理论检验表明我国股票市场价格收益率具有明显非线性特征， 最少可用4个状态变量建立沪深两市大盘指数价格序列系统模型。第五， 两市股价波动具有明显的时变性、 聚类性及共动性， 风险与收益间关系不显著； 用ARIMA模型对我国股票市场收益率波动预测效果一般。[4]

冯雅琴等(2005)利用Esscher变换和风险中性Esscher测度探讨了复合泊松过程和Meixner过程驱动的欧式看涨期权定价公式。陈旭(2007)利用几何Lévy过程研究了从属市场的期权定价， 以及交换期权和外汇期权的定价问题。万建平(2007)研究了基于双指数跳扩散模型的可转换债券定价。[5]

二、 沪深300指数的经验特征

沪深300指数是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本编制而成的成份指数， 指数基期是2004年12月31日， 指数基点1000点。沪深300指数是上海证券文易所和深圳证券交易所第一次联合发布的反映A股市场整体走势的指数。它的推出， 丰富了市场现有的指数体系， 增加了一项用于观察市场走势的指标， 有利于投资者全面把握市场运行状况， 也进一步为指数投资产品的创新和发展提供了基础条件。我国拟推出的股指期货就将以其为标的资产。研究沪深300指数的收益分布特征， 选择合适的模型进行拟合， 对将来充分利用股指期货套期保值功能、 有效规避股票现货市场价格波动风险来说， 具有重要的现实意义。

(一)数据描述

本文的研究对象为沪深300指数收益率序列。样本周期为2005年4月8日至2009年10月22日， 共1104个观测值， 然后把样本数据转换为连续复利日收益率， 得到样本容量为1103的收益率序列。统计分析表明， 沪深300指数收益率序列的分布具有超出峰度、 有偏等特征， 也具有其它金融序列中常见的波动聚类现象。

图1 沪深300指数日对数收益率序列

表1是样本收益率的描述性统计特征。样本期间， 沪深300指数的日均收益率为0.11%， 年度化波动率为35%， 超出峰度5.04， 偏度0.018。

表1 样本收益率的统计特征

(二)经验分布

为了获得沪深300指数的经验概率密度分布， 本文采用高斯核密度估计方法估计其经验分布。估计的密度函数如下；

(1)

图2给出了样本的高斯核估计密度分布和正态分布(以样本均值为均值， 样本方差为方差的正态分布)。从图中可知， 正态分布在拟合样本数据方面， 尤其是对峰度的拟合， 表现出很大的差距。

图2 样本的核密度估计和正态分布密度

三、 Lévy过程建模

(一)Lévy过程的定义

具有连续样本路径的Brownian运动和纯跳的Poisson过程均属于Lévy过程。Lévy过程最本质的特征是具有平稳独立增量。首先我们给出Lévy过程的定义。

令X=(X(t),t≥0)为一定义在概率空间(Ω， F，P)上的实值随机过程， 若它满足：

(1) 对∀n≥1和0≤t0

(2)X(0)=0a.s，

(3)X(s+t)-X(s)的分布不依赖于s，

(4)X随机连续， 即对∀a>0,s≥0，

(2)

则X是一Lévy过程。

Lévy过程是具有无穷可分(infinitely divisible)分布函数的随机过程。记Lévy过程的特征函数为φX(u)=E(eiuX)， 则累积量(cumulant)特征函数Ψ(u)=logφX(u)， 也称为特征指数， 满足Lévy-Khintchine公式：

(3)

其中，γ∈R，σ2≥0，ν是列维测度。(γ，σ2，ν(dx))称为列维特征三元组。

从Lévy-Khintchine公式可知， 一个Lévy过程由三个部分组成： 线性确定性部分、 布朗运动和纯跳跃过程， Lévy测度控制跳是如何发生的。

(二)Meixner过程

Lévy过程在应用中产生了很多具体的概率密度分布， 如VG分布、 NIG分布、 CGMY分布、 Hyperbolic Model， 以及Meixner分布。文献[2]利用多个分布对多个股票指数建模， 发现Meixner过程对指数的拟合较好。本文选择Meixner过程对沪深300指数的收益率系列进行建模。

Meixner过程源自正交多项式理论， 首先由Schoutens和Teugels(1998)提出， Grigelionis(1999)认为Meixner过程可以更好的拟合股票收益率。Meixner过程的分布密度函数为：

fMeixner(x;a,b,d,m)

(4)

其中a>0； -π 0，m为实数。Meixner过程的特征函数为：

φMeixner(u;a,b,d,m)

(5)

Meixner过程的Lévy特征三元组为(γ， 0，v(dx))， 其中：

(6)

(7)

从Meixner过程的Lévy特征三元组可知， Meixner过程是不含布朗运动的纯跳跃过程。 表2给出了Meixner分布的均值等数字特征量的参数表达式。 从公式可知， 当参数b=0时， Meixner分布为对称分布(未进行均值校正)， 均值和偏度为零。

表2 Meixner过程的数字特征

(三)市场模型与拟合

假设金融市场中风险资产的价格运动过程St=S0exp(Xt)， 其中Χ={Χt，t≥0}为Meixner过程。因此该模型中风险资产的对数收益率log(St+1/St)是一个具有独立和平稳分布增量的随机序列， 即服从Meixner分布的随机过程。本文采用Meixner过程对样本数据的收益率序列进行拟合。首先用最大似然估计法(MLE)对Meixner分布的参数进行了估计， 结果如表3。

表3 Meixner分布的参数估计

图3 样本的核密度估计和拟合的Meixner分布

图3是根据估计的Meixner分布参数绘出的Meixner分布的概率密度函数。为了便于比较， 也绘制了样本数据的高斯核估计分布密度。与图2的正态分布相比， Meixner分布较好地拟合了样本数据的超出峰度、 偏度和半厚尾现象。

沪深300指数作为我国未来股指期货的标的资产， 研究其分布特征， 寻找相应的随机过程模拟其随机行为， 对未来进行股指期货投资， 构建于其上的权证等衍生产品设计、 开发、 投资等具有重要意义。

本文利用沪深300指数样本数据， 首先用高斯核密度法估计了样本的经验分布， 证实沪深300指数收益率序列的分布具有超出峰度、 有偏， 收益率的波动率有聚类特征， 正态分布在拟合沪深300指数收益率时出现较大偏差。在此背景下， 提出采用Lévy过程中的Meixner过程对市场进行建模， 并对样本数据进行了拟合。实证结果表明： Meixner过程能较好地拟合样本数据的超出峰度和偏度。

参考文献：

[1] Wim Schoutens. The Meixner Process: Theory and Applications [R]. Eindhven: EURANDOM, 2002.

[2] Wim Schoutens. Lévy Processes in Finance [M]. Chichester: WILEY, 2003.

[3] 王新宇. 拟合中国股票市场收益的统计分布 [J]. 系统工程理论与实践， 2006(12)： 40-46.

[4] 李道叶. 非线性框架下中国股票市场价格收益率特征分析 [D]. 暨南大学经济学院， 2007.

[5] 陈旭. 基于几何Lévy过程的期权定价 [D]. 华中科技大学数理与统计学院， 2007.

[6] David Applebaum. Lévy Processes and Stochastic Calculus [M]. London: Cambridge University Press， 2004.

[7] Luis Valdivieso. Maximum likelihood estimation in processes of Ornstein-Uhlenbeck type [J]. Statistical Inference for Stochastic Processes, 2009(12): 1-19.