Duggal变换与Aluthge变换的数值域*

刘秀梅

(浙江师范大学 行知学院,浙江 金华 321004)

Duggal变换与Aluthge变换的数值域*

刘秀梅

(浙江师范大学 行知学院,浙江 金华 321004)

设A是作用在复Hilbert空间H上的有界线性算子,证明了A的Duggal变换的数值域包含于A的数值域;同时,利用简洁的方法证明了A的Aluthge变换的数值域等于A的*-Aluthge变换的数值域.

Duggal 变换;Aluthge变换;*-Aluthge变换;数值域

本文中,N(A)和R(A)分别表示算子A的核空间和值域空间.

例1令

是算子A的极分解,则

但如果选取部分等距U为一个极大部分等距,则

例1说明Duggal变换与部分等距V的选取是有关的.

则易知Vx0≠0且1≥‖Vx0‖gt;0,因此

由数值域定义得

(A).

接下来讨论Aluthge变换的数值域.首先给出几个引理.

引理1[2]令A=V|A|是算子A的极分解,则

(1)A*=V*|A*|是算子A*的极分解;

引理2[2]设A,B∈B(H),如果对某个压缩算子X,有A=X*BX,则W(A)⊆(W(B)∪{0})∧.更进一步,如果X是一余等距,即XX*=1,则W(B)⊆W(A),其中对复平面上的一子集△来说,△∧表示它的凸包.

设A∈B(H),定义

γ(A)=inf{‖Ah‖:‖h‖=1,h⊥N(A)}.

由文献[8]知,A为半Fredholm算子当且仅当R(A)为闭子空间且N(A)或N(A*)为有限维子空间.记indA=dimN(A)-dimN(A*).如果A为半-Fredholm算子,N(A)=0,B∈B(H)且‖B‖lt;γ(A),则N(A+B)=0,ind(A+B)=indA.

引理4如果V是一个非酉等距算子,则

}.

证明 因为V为非酉等距算子,所以

σ(V)⊆{λ∈C:|λ|≤1}.

容易验证N(V)=0,V为半-Fredholm算子,并且γ(V)=1.

对任意的α∈C满足|α|lt;1,有‖αI‖lt;1=γ(V),从而

ind(V+αI)=ind(V).

因为indV=dimN(V)-dimN(V*)≠0,所以ind(V+αI)≠0,则V+αI不可逆,从而

{α∈C: |α|lt;1}⊆σ(V).

因为σ(V)为闭集,所以σ(V)={λ∈C: |λ|≤1}.

因为1=r(V)≤w(V)≤‖V‖=1,其中r(V)和w(V)分别为V的谱半径和数值域半径,所以

}.

定理2对任意的算子A∈B(H),有

).

证明 分3种情况证明这个结论.

致谢:衷心感谢陕西师范大学杜鸿科教授,他与笔者就本文进行了有益的讨论.

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[8]Conway J B.A course in functional analysis[M].New York:Springer-Verlag,1990.

(责任编辑 陶立方)

NumericalrangeoftheDuggaltransformandAluthgetransform

LIU Xiumei

(XingzhiCollege,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

LetAbe a bounded linear operator on a complex Hilbert space H. It was proved that the numerical range of the Duggal transform ofAwas contained in that ofA. It was also proved that the numerical range of the Aluthge transform ofAwas equal to that of the *-Aluthge transform ofAby a simplified method.

Duggal transform; Aluthge transform; *-Aluthge transform; numerical range

1001-5051(2010)01-0018-04

2009-06-14

国家自然科学基金资助项目(10971195)；浙江省教育厅科研项目(200909304)

刘秀梅(1980-),女,山西介休人,讲师,硕士.研究方向:泛函分析.

O177.1

A