极坐标系下求平面图形的面积教学方法探讨

刘桂仙 刘庆升

1河南理工大学数学与信息科学学院 454000

2曲靖师范学院数学系 655011

极坐标系下求平面图形的面积教学方法探讨

刘桂仙1刘庆升2

1河南理工大学数学与信息科学学院 454000

2曲靖师范学院数学系 655011

从高等数学教学的角度出发，探讨了如何讲解在极坐标下求平面图形的面积问题。

极坐标；定积分；面积

求平面图形的面积是定积分在几何中的一个最基本的应用，当某些平面图形的边界曲线以极坐标方程给出时，我们可以考虑直接用极坐标来计算这些平面图形的面积.本文就从高等数学教学的角度出发，探讨了如何讲解在极坐标下求平面图形的面积问题。

图1

在讲课过程中，笔者发现由于中学课改，现在学生普遍没有接触过极坐标，理解起来十分困难，这就使授课教师很为难，如果只是简单一带而过的介绍，学生听不明白，只能死记公式，但如果向学生详细介绍极坐标，又受到学时的限制，难以展开，可是若要讲解在极坐标下求平面图形的面积问题，学生必须知道什么是极坐标.要想用较短的时间向学生讲明白什么是极坐标，我想关键是用通俗易懂的语言把意思讲清楚.什么是极坐标？实际上用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标。

结合直角坐标系，通过作图，把直角坐标和极坐标的互化关系分析清楚极坐标与直角坐标系的关系如图1所示，将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为(x,y)，在极坐标系下的坐标为(ρ,θ) 则有下列关系

讲清楚极坐标的定义后，用元素法分析出用极坐标来计算平面图形的面积公式.如图2，设图形由曲线

图2

在举例子的过程中，笔者发现很多学生往往对由极坐标表示的图形很困惑，这些图形是怎么生成的呢？如何画呢？下面通过举例来讲解一下，在许多高等数学课本中有这样一个例子：计算心形线所围成的图形的面积.我在讲此例时，首先把解析几何的平面曲线的方程这部分知识穿插进来，向学生介绍心形线是如何生成的：当一圆沿着一个定圆的外部作无滑动地滚动时，动圆上一点的轨迹在直角坐标系下利用向量法得到的就是心形线。利用直角坐标和极坐标的互化关系就得到心形线的极坐标表示式，其次再利用多媒体动画演示一遍，最后向学生分析在极坐标系下图形如何画：找出作图区间是;在此区间上找出特殊点；观察

通过上面例子的详细讲解，学生在极坐标系下会画平面图形，再用元素法分析出面积元素，那么利用极坐标系计算平面图形的面积就掌握了，这也为以后讲授利用极坐标计算二重积分奠定了基础。

[1]同济大学应用数学系．高等数学(第六版)(上册)[M]．北京：高等教育出版社. 2007.

[2]吕林根，许子道. 解析几何（第四版）[M]．北京：高等教育出版社.2006.

刘桂仙（1980-），女，讲师，硕士，主要从事拓扑动力系统方向的研究。

河南理工大学2008年教育教学改革研究项目（2008JG073）;河南理工大学青年基金（646205）