剪力墙结构的自由网格划分

段 进

(中国建筑科学研究院软件所,北京 100013)

1 引言

有限元的基本思想可简单概括为“先离散后集成”,网格划分是有限元分析的前提和基础,网格质量的好坏将直接影响有限元分析结果,也就是说,网格划分的目的为了保证和提高有限元分析的精度和可靠性。因此,好的网格划分算法须满足两个条件:(1)算法要稳定,要适用于复杂结构模型;(2)网格质量要好,要有利于有限元计算。那么,怎样的网格质量才算好?或者说,网格质量好坏的判断标准是什么?关于这一点,国际上主要有两种准则:Lee＆Lo准则[1]和 Canann准则[2],本文将采用Lee＆Lo准则。当然,从简化的角度来说,也可根据如下原则粗略判断:(1)网格形状越接近正方形其质量越好;(2)网格尺寸分布越均匀其质量越好。

网格划分从拓扑关系上来说可分为映射网格(结构化网格)和自由网格(非结构化网格)[3]。映射网格[4-5]是指内部结点的拓扑关系一致,也就是说每个内部结点均连接相同数目的单元,该网格的生成方式很简单,网格划分速度很快,但它只适用于特殊的几何边界,在实际工程中很受限制。自由网格[6-12]是指内部结点的拓扑关系可以任意,也就是说每个内部结点可连接任意数目的结点和单元,该网格的生成方式较为复杂,但理论上适用于任意复杂的几何边界,在通用软件中被大量采用。

为提高剪力墙结构的网格划分质量、适应复杂结构模型的要求并确保网格划分的速度,本文提出了一种新的自由网格方案,它以铺砌法自由网格[7]为核心,并联合映射网格[4]和几何拆分法[12],兼顾自由网格的通用性和映射网格的高效性,使得有限元网格满足如下几点要求:(1)不限制结构的几何形状,方便处理复杂剪力墙和楼板;(2)剪力墙之间以及楼板之间的边界结点全部协调,使得有限元离散模型更符合实际情况;(3)全部或大多数为四边形网格,因为四边形网格的有限元计算精度较三角形更高;(4)网格尺寸分布比较均匀,不同尺寸之间会自动增加过渡网格,避免结构刚度发生突变,有利于提高有限元计算的精度。最后,我们将本文的网格划分方法应用于新版SATWE软件,取得良好效果。

2 铺砌法自由网格

铺砌法自由网格是本文网格方案的核心部分,它最早由美国 SANDIA国家实验室的 Blacker和Stephenson[7]提出,之后便广泛应用于多个商业软件。铺砌法的基本思路可归纳如下:首先沿初始边界生成单元,然后更新几何边界,并沿新的几何边界继续生成单元,重复上述过程直至整个域内被单元占满,因此,铺砌法又被称为移动边界法,其网格划分如图1所示,其中,红色粗线条表示固定边界(原始边界),蓝色粗线条表示移动边界,细线条表示域内网格,固定边界在整个网格划分过程中均不作修改,而移动边界和域内网格则在“铺砌”过程中会进行网格抹平和拓扑优化,以便得到最适合有限元计算的网格质量。

图1 铺砌法自由网格示意图

要使上述的“铺砌法”能适应于各种复杂边界以及对各种几何边界都能得到良好的网格质量,关键是要处理好如下几个技术难点:

(1)移动边界处理[7,9]:包括边界相交、边界缝合等,通过边界相交和缝合处理,移动边界的数量可能任意增加或者减少,如图2所示,初始的 3条移动边界在网格划分过程中可能减少为 2条,之后又增加为 3条;

(2)节点和单元的几何抹平[2,7]:几何抹平是指修改节点坐标,而不改变节点及单元间的连接关系。为提高网格抹平的效果,本文联合采用了四种算法:等参抹平、拉普拉斯抹平、约束抹平、最优化抹平;

(3)节点和单元的拓扑优化[6,10]:拓扑优化是指修改节点及单元之间的连接关系,而不改变节点坐标。在网格铺砌的过程中,通过适当的拓扑优化和几何抹平,能大大改善网格的质量,同时还能有效提高铺砌法的稳定性和效率。

综合来说,铺砌法之所以被各大商业软件广泛采用,是因为它有如下几个优点:

(1)铺砌法优先保证临近边界的网格质量,将形状不好的单元尽量置于区域中心(即远离边界),这样做有利于提高有限元计算的质量,因为通常来说边界附近的网格对有限元计算最敏感,如果边界单元质量不好则很容易导致有限元计算结果偏差较大;

(2)在不同尺寸的网格之间,铺砌法会自动生成过渡单元,如图3所示,避免网格尺寸突变,提高网格的光滑性,从而提高有限元分析的质量;

(3)铺砌法理论上适用于任意复杂边界,它不受几何形状的限制,具有很强的通用性。

3 几何拆分法

几何拆分法的思路非常简单,就是将复杂的几何模型拆分成多个简单几何模型的集合[11,12],拆分示例如图4所示,它仅对几何模型做拓扑操作,因此也被称为拓扑拆分,其本身并不涉及网格算法,可看作是网格划分的前处理。

图2 网格铺砌示意图

图3 不同尺寸间的过渡网格示意图

图4 几何拆分示意图

图5 单片剪力墙拆分示意图

通常来说,上述几何拆分是非常很困难的,其困难程度有时候甚至超过网格划分本身,因此,该方法较少被人采用。但是,建筑结构有一定的规整性,有些情况下很容易拆分,并且先拆分边界后进行网格划分显然能提高网格生成的速度,因此本文采有条件的选择该方法:(1)对于楼板,因为它的形状并不固定,可能出现各种复杂的情况,因此不作几何拆分;(2)对于剪力墙,因为单片剪力墙(墙元)的形状相对比较固定,通常就是一个四边形外边界加一个四边形洞口,该洞口可能居中,也可能靠边,大多数情况下它都可进行如图5所示的几何边界拆分,但是,对于带洞口的坡屋顶墙和带洞口的梯形墙,则要根据洞口位置进一步判断能否拆分。概括来说:本文的网格方法设定了多种拆分模式,首先判断几何边界是否满足这些拆分模式,如果满足则拆分,不满足则略过,这样既提高网格划分的速度,又不影响网格划分的通用性。

4 映射网格

映射网格是一种很规整的网格形式[4,5],也是有限元历史上最早出现的一种网格,它的每个内部结点均连接相同数目的单元,该网格的生成方式很简单,网格划分的速度极快,但仅适用于四边形几何边界并要求对边的结点数目相同,因此在实际工程中很受限制。但如果结合几何拆分法(见第 3小节),则可大大扩展映射网格在剪力墙结构中的适用性。以图6的门洞剪力墙为例,经过几何拆分后可得到 5个四边形区域,除了左下角需采用铺砌法自由网格之外,其它 4个区域均可直接采用映射网格,网格划分结果如图6所示。这里需特别指出的是:映射网格本身有很强的局限性,它并不能提高本文网格方法对复杂结构的适应性,事实上,映射网格能划分的几何图元均可采用自由网格划分(见第 2小节),但反之则不然;我们之所以部分采用映射网格,目的是为了提高网格划分的速度,节省网格划分的时间,因为通常情况下,映射网格的划分速度是自由网格的十倍以上。

图6 单片剪力墙拆分后映射网格示意图

5 剪力墙结构的网格划分流程

如前所述,本文的网格划分方法是以铺砌法自由网格为核心并联合映射网格和几何拆分法,其基本流程如图7所示,它主要包括四个组成部分:(1)对剪力墙和楼板的边界线布置边界结点(本文略),确保剪力墙之间、楼板之间、剪力墙和楼板之间的边界结点全部协调;(2)有条件地进行几何边界拆分,详见第 3小节;(3)有条件地选择映射网格划分,详见第 4小节;(4)铺砌法自由网格划分,详见第 2小节。

图7 剪力墙结构的网格划分流程

6 网格划分实例

本文提出的网格划分方案是一种通用网格划分,它不受结构形式的限制,能够满足各种复杂建筑结构的计算要求,网格实例如图8和9所示,其中,图8表示剪力墙网格划分,图9表示楼板网格划分。

7 在 SATWE中的应用

我们将本文的网格方案应用于中国建筑科学研究院开发的新版 SATWE软件,提高了 SATWE软件对复杂结构模型的适应性,使得 SATWE的有限元离散模型满足如下几点要求:

(1)边界结点全协调:剪力墙与剪力墙之间、楼板之间、剪力墙与楼板之间的边界结点全部协调,这从刚度上保证了结构的连续性,在一定程度上保证了计算结果的合理性;

(2)不限制边界结点个数:用户可根据需要任意加密网格,从而获得更好的计算精度,因为通常情况下,密网格的单元质量比疏网格要好一些,如图10所示,其有限元计算结果也更可靠一些;

(3)不限制几何边界形式:可处理各种洞口类型的剪力墙(包括梯形墙、坡屋顶墙等特殊形式)以及各种复杂楼板;

图8 剪力墙网格划分示意图

图9 楼板网格划分示意图

图10 SATWE不同网格尺寸示意图

(4)良好的单元质量:绝大部分为四边形网格,且网格尺寸比较均匀,不同尺寸之间会自动增加过渡网格,避免刚度突变,增加有限元计算结果的准确性。

8 结论

本文以铺砌法自由网格为核心,并联合映射网格和几何拆分法,兼顾自由网格的通用性和映射网格的高效性,发展了一种适用于剪力墙结构的自由网格方案,它既能适应复杂结构模型的要求,又能有效提高网格划分的质量,并同时确保网格划分的速度。将该方法应用于新版 SATWE中,其有限元计算结果较以前有明显改进,并且随着网格的加密其计算结果会逐渐收敛。

[1]C.K.Lee,and S.H.Lo(1994).“A New Scheme for the Generation of a Graded Quadrilateral Mesh”,Computers and Structures,Vol.52 pp.847-857

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[11]J.A.Talbert,and A.R.Parkinson(1991).“Development of an Automatic,Two Dimensional Finite Element Mesh Generator using Quadrilateral Elements and Bezier Curve Boundary Definitions”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,Vol.29 pp.1551-1567

[12]Dietrich,Nowottny(1997).“Quadrilateral Mesh Generation via Geometrically Optimized Domain Decomposition”,Proceedings,6th International Meshing Roundtable,pp.309-320