交错扩散对于Turing 不稳定现象的影响

朱 莹

(扬州职业大学数学系,江苏扬州 225009)

交错扩散对于Turing 不稳定现象的影响

朱 莹

(扬州职业大学数学系,江苏扬州 225009)

对建立在生态学基础上的一类具有H¨olling-III型功能性响应函数的捕食常微分模型及其对应的偏微分模型进行研究,发现交错扩散可以把不稳定的只具有自扩散的偏微分方程组变成稳定的偏微分系统,也可以把稳定的变成不稳定的系统.

H¨olling-III型;正常数平衡解;Turing不稳定;自扩散;交错扩散

0 引言

Turing不稳定现象是1952年英国科学家Turing首次提出的.Turing认为,在满足一定条件下,在同一个正常数平衡解处常微分模型是稳定的,但对于加入扩散作用的偏微分模型却是不稳定的[1].这一现象已通过化学实验得到验证,近年来被用于解释生态现象,受到国内外学者的广泛关注[2-5].用数学方法解释生态现象已有不少报道[6,7].特别是对捕食模型长时间形态的研究[8-10].在本文中笔者主要探讨交错扩散对于一类具有H¨olling-Ⅲ型功能性响应函数的捕食模型Turing不稳定现象的影响.我们考虑是这样的带参数偏微分系统

记:

其中Ω是Rn中的有界区域,γ是∂Ω上的单位外法向量,d,λ>0,初始函数 c(x),d(x)均是不恒等于零非负光滑函数.自扩散系数为1,d,交错扩散系数为 e1,e2,自扩散表示种群在自身所在范围内,从密度高的地方向密度低的地方迁移.交错扩散作用表示种群从一个种群向另一个种群迁移的状况.假定扩散矩阵为 D,则

且满足

1 预备知识

引理1[11]如果

那么系统(5)在正常数平衡解(u0,v0)处稳定,其中

为系统

现在我们在正平衡解(u0,v0)对于系统(5)稳定的基础上,讨论正平衡解(u0,v0)对于系统(1)的不稳定性.在正平衡解(u0,v0)处对系统(1)进行线性化,令

为了书写的方便,我们依旧用 u(x,t),v(x,t)代替函数 U(x,t),V(x,t),则

这样正平衡解(u0,v0)对于系统(1)不稳定就等价于平衡解(0,0)对于系统(6)不稳定.将有界空间Ω进行正交分解后,令(u,v)=(c1,c2)eμtXi(x),其中 Xi(x)是特征值δi所对应的特征空间基向量.代入系统(6)在范围{(x,t)|x∈Ω,t>0}上得到方程

由于对于任意的 t>0,x∈Ω有eμtXi(x)≠0,从而有特征方程为

考虑正平衡解(u0,v0)对于系统(1)不稳定,只要关于μ的方程(8)一个具有正实部的解即可.定义矩阵,D如(3)定义.经过计算有

其中

由于Trace(J)<0,d>0,λ>0,则有Trace(Mi)<0,所以关于μ的函数(8)有一个具有正实部解的必要条件为

下面在满足条件(12)进行讨论关于μ的函数(8)在什么情况下存在一个具有正实部的根.由于

从而要使得存在某些δi>0满足det(Mi)<0.通过对det(Mi)配方,我们在取得最小值必须小于零,即:

在条件(12)和(13)满足的情况下,关于δi等式Det(Mi)=0存在两个正根

2 主要结果

综合上面的讨论我们有以下结论:

定理1 假设在满足引理1条件的情况下,(u0,v0)是系统(1)和系统(5)的正常数平衡解,如果det(Mi)<0,F(J,D)<0满足,并且存在某些δi使得不等式

成立,那么系统(1)在(u0,v0)处不稳定;但是如果Det(Mi)>0或者 F(J,D) ≤0,那么系统(1)在

(u0,v0)处稳定.其中Det(Mi),F(J,D),k1,k2分别如(13)、(11)、(14)、(15) 定义.

注 定理1给出的是关于系统(1)存在自扩散或是交错扩散或是两种扩散同时存在时的一个一般结论.如果我们在一维空间(0π,)中考虑问题,即考虑下面的系统

这时系统(17)中 -Δ算子的特征值

进一步地,我们可以通过类似定理2的讨论,得到下面定理:定理2 条件如同定理2,如果存在λ使得不等式

即

成立,那么系统(17)在(u0,v0)处不稳定,其中det(J)=fugv-fvgu.

下面我们具体分析一下定理3,讨论扩散的作用,从而得出交错扩散对于Turing不稳定的影响.比较条件

和条件

我们很容易看出,当交错扩散系数e1,e2满足一定条件时,条件(18)成立,但是条件(19)不成立,同样地,当e1,e2满足另外一个一定条件时,条件(18)不成立,条件(19)却是成立的.这说明加入交错扩散后,将改变原来系统的稳定性,不管自扩散系统是稳定的还是不稳定的;也就是说,交错扩散对Turing不稳定有较大影响.

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The Cross-Diffusion Can Induce the Turing Instability Phenomenon

ZHU Ying
(Department of Mathematics,Yangzhou Vocational University,Yangzhou Jiangsu 225009,China)

This paper is devoted to study of an ODE system for predator-prey model with functional responses of H¨olling-III type and the corresponding PDE system established in ecology.We discuss the conditions under which Turing instability phenomenon is induced for the same constant equilibrium solution by linearization and eigenvalue.In this section,we show that under some conditions the cross-diffusion can induce the Turing instability phenomenon.

Holling-III;constant equilibrium solution;turing instability;self-diffusion;cross-diffusion

O175.26

A

1671-6876(2010)04-0295-04

2010-01-16

朱莹(1973-),男,江苏邗江人,讲师,硕士,研究方向为偏微分方程.

[责任编辑:李春红]