分形的意义及应用

李双双，李 探

中国矿业大学信息与电气工程学院，江苏徐州 221116

1 分形的介绍

1.1 定义

分形(Fractal)是指具有自相似特性的现象、图像或者物理过程等。分形学诞生于1970年代中期，属于现代数学中的一个分支。分形一般有以下特质：

1）分形有无限精细的结构，即有任意小比例的细节；

2）分形从传统的几何观点看如此不规则，以至于难以用传统的几何语言来描述；

3）分形有统计的或近似的自相似的形式；

4）分形的维数(可以有多种定义)大于其拓扑维数；

5）分形可以由简单的方法定义，例如迭代。

1.2 来源

fractal一词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外，与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

1.3 分形的种类

逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship

分形迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如：康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。

吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如：Lorenz吸引子。

2 分形的意义

2.1 分形几何的基本思想

1）客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性；

2）分数维是刻划分形的特征量。

2.2 分形几何与欧氏几何的比较

描述对象 特征长度 表达方式 维数分形几何 大自然创造的复杂的真实物体 无 迭代语言 一般是分数欧氏几何学 人类创造的简单的标准物体 有 数学公式 0或正整数

3 分形的应用

3.1 运用分形的方法研究金融市场

分形的理论和方法是用来研究复杂事物的，是目前为止人类所能找到的最新的和最好的方法，也是相对简单的方法。而金融市场是人类经济领域最为复杂的市场，在分形的观念出现之前，所有的方法因为线性的致命局限而从未达到市场的实质，人们只能在摸索中一步步探索市场的奥秘。分形的理论出现之后，人们终于可以向复杂事物的内部前进，可以更好地认识金融市场。

3.2 将分形应用与医学

分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化，有一些科学家认为分形几何有助于他们理解被观察的正常活细胞的结构和组成癌组织的病细胞的结构。所以通过建立与健康的或患病的组织相像的分形生长模型，科学家们也能够了解存在于基因密码的控制生长的信息，以及如果这种生长结果的信息被破坏时，癌组织是如何发展的。

3.3 研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺

长沙马王堆汉墓出土的纺织品图案纹样很令人吃惊，图案设计大胆豪迈、热情奔放、生动流畅、不规则之中隐藏着高度的规则性、复杂的对称代替了简单的几何对称。这分明具有分形图形的气势、风格。

3.4 设计分形时装

现代西方时装重色彩、质料而轻图案装点，而各国传统民族服装则正相反。对几何纹样的态度似乎是，西方重不规则、非对称图案，而各国传统服装重规则、对称图案(特别是伊斯兰社会)。

4 结论

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。它的应用将越来越广泛。

[1]李水根.分形.北京:高等教育出版社,2004.

[2]谭芳.分形几何的价值与研究.

[3]Mandelbrot.B.B,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.