有限m重非齐次马氏链随机变换的一个强极限定理

王华山

（江苏大学理学院,江苏镇江 212013）

1 定义

随机变换的概念最早源于赌博系统,19世纪20-30年代德国著名统计学家R.V.Mises发现了这个问题的重要性,并把它作为公理引进文献[1],Kolmogorov在文献[2]中讨论了这个问题与概率论逻辑基础的关系.文献[3]、[4]讨论任意N值随机序列随机变换的强极限定理,文中利用鞅变换的概念,将随机变换的有关结果推广到有限m重非齐次马氏链中.

文中所涉及的问题都将在固定的完备概率空间（Ω,F,P）进行讨论,{Fn,n≥1}是F的自然σ代数流,即Fn=σ（X0,…,Xn）,约定Fn=σ（X0,…,Xn）对几乎处处意义下成立的等式或不等式常省去a.s.记号.

设S={1,2,…,N},X={Xn,n≥0}定义为（Ω,F,P）中在S上取值的随机序列,如果存在正整数 m,对任意的整数 n≥m 及任意的i0,i1,…,in∈S,如果 P（X0=i0,i1,…,Xn-1）＞0,总有

成立且（1）式与n无关,则称此X为有限m重非齐次马氏链.

令X={Xn,n≥0}是有限 m重非齐次马氏链,其m维初始条件和m阶转移矩阵分别为

则其有限维分布为

考虑非齐次有限 m重马氏链随机变换时,设{Vn,Fn-1,n≥1}是适随机序列,称{Vn,n≥1}为可预报序列.

2 主要结果及证明

定理1 设{Xn,n≥0}是具有（2）式的m维初始分布和（3）式的m阶转移矩阵的有限m重非齐次马氏链,fn（y1,y2,…,ym+1）,（n≥m）是定义在Sm+1上的三元函数列,{Vn,n≥m}如前定义,{an,n≥m}是一列单调不减的可预报序列,且an↑∞,如果

则

证明

令 Yk=fk（Xk-m,…,Xk-1,Xk）-E[fk（Xk-m,…,Xk-1],k≥m

易知{Yn,Fn,n≥m}是一鞅差序列,而由于 Vn及an是Fn-1可测的,所以{VnYn/an,Fn,n≥1}也构成一鞅差序列[4],令

再由鞅差序列收敛定理,可得

收敛于零,（4）式得证.

以下恒假设{Vn,n≥m}是随机变换,即 Vn是在{0,1}中取值的布尔函数在考虑随机选择的问题时根据 Vk的值来选取序列

的子序列:当且仅当 Vk=1时选取式（5）～（8）中的 Xk,（Xk-1,Xk）,（Xk-m,…,Xk-1,Xk）

设 Sj（◦）是Kronecker δ函数,即 δj（i）=δij,由定理1可得如下几个推论.

推论1 设{Xn,n≥0}是 m重有限非齐次马氏链,f（y1,y2,…,ym+1）是定义在Sm+1上的 m元函数,{Vn,n≥m},{σn,n ≥m}如上定义 ,且 σn↑∞,则

证明

由式（10）及定理1即得式（9）.

推论2 设{Xn,n≥0}是 m重有限非齐次马氏链,{Vn,n≥m},An（i1;w）,An（i1,i2;w）,An（i1,i2,…,im;w）,σn如前定义,且 σn↑∞,则

证明仅证（11）式,在推论（1）中令 f（y1,y2,…,ym）=δi1（y1）δi2（y2）…δim（ym）,y1,y2,…,ym∈S,于是

由式（14）与推论1即得式（13）,直接由式（13）可得（12）式和（11）式.

[1] Kolmogorov A N.on the logical foundations of probability theory[J].Lecture Notes in Mathematics,1982,1021:1-5.

[2] Liu W,Wang ZZ.an extension of a theorem on gambling systems to arbitrary binary random variables[J].Statistics&probability Letters,1996,28:51-58.

[3] Wang ZZ.a strong limit theorem on random selection for the N-valued random variables[J].Pure and Applied Mathematics,1999,15（4）:56-61.

[4] Stout W F.all most conbergence[M].New York:Academic Press,1974.

[5] 汪忠志.二重非齐次马氏链随机变换的一个强极限定理[J].沈阳工业大学学报,2002,24（5）:447-449.

[6] Mises R V.mathematical theory of probability and statistics[M].New York:Academic Press,1964.