强非局域非线性介质中的二维库墨-高斯孤子簇＊

徐四六 刘会平 易 林†

1)(华中科技大学物理学院,武汉 430074)

2)(咸宁学院物理系,咸宁 437100)

强非局域非线性介质中的二维库墨-高斯孤子簇＊

徐四六1)2)刘会平1)易 林1)†

1)(华中科技大学物理学院,武汉 430074)

2)(咸宁学院物理系,咸宁 437100)

(2009年4月21日收到;2009年5月13日收到修改稿)

利用自相似技术求解一个在强非局域非线性条件下的(2+1)维非线性薛定谔方程,得到一个精确的库墨-高斯解析解,数值模拟与解析解的一致性表明,这种库墨-高斯孤子形成了一类空间孤子簇.发现这种非局域孤子具有较大的相移.

空间光孤子,自相似技术,强非局域非线性

PACC:4265S,0200,4270D

1.引言

1997年Snyder和Mitchell[1]提出强非局域非线性均匀介质中空间孤子传输的线性模型,并预言在此介质中存在稳定的孤子解,从而引发了新一轮空间光孤子的研究热潮[2—14].随后通过理论预测和实验探索,Peccianti等[15,16]证明了向列液晶是强非局域介质.不久液晶中的孤子和呼吸子解被求出,在实验中也观察到它们的相关传输现象[17,18].特别是近年来,一系列由特殊函数组成的孤子群相继被找到,将这一领域的研究推向新的高度:如郭旗等[3]在强非局域介质中发现了孤子的大相移现象,找到了拉盖尔-高斯孤子和呼吸子解[19];Zhong等[20,21]研究了二维和三维强非局域介质中孤子的传输规律,得到了以自相似的方式传输的拉盖尔-高斯孤子簇和三维由惠特克(whittaker)函数和厄米特-高斯(Her mite-Gauss)函数组成的孤子群.

本文基于(1+2)非线性薛定谔方程(NNLSE)模型,首先将高斯响应函数在强非局域程度条件下进行展开,得到了在强非局域条件下光束在非线性介质中的传输方程.采用自相似技术,获得了一个精确的库墨-高斯解析解.数值模拟与解析解的一致性表明,这种库墨-高斯孤子形成了一类空间孤子簇.我们发现沿着孤子的传输方向,相对于局域孤子,库墨-高斯孤子有较大的相位,其与传输距离具有线性递增的关系.

2.非局域非线性薛定谔方程

在非局域非线性介质中,沿z方向传输的光束的演化,可以用推广的(2+1)维非线性薛定谔方程模型来描述,其一般表达方式可以写成[14—16]

3.自相似孤子解

根据文献[19,20],定义复场为ψ(z,r,φ)=A(z,r, φ)eiB(z,r),这里A(z,r,φ)和B(z,r)是实函数.在极坐标系中,横向拉普拉斯算符是将ψ(z,r,φ)代入(2)式,并要求实部与虚部分别为零,我们可以得到如下两个耦合的方程:

为了寻求(4)和(5)式的自相似解,我们假设振幅

和相位

将(6)—(8)式代入(5)式,利用转换ζ=λ θ2和F=我们得到

式中m=n=0,1,2,…,分别是描述光束角向分布和径向分布而引入的两个物理参量,λ是非零的参数. (12)式是库墨微分方程,它的解是连带库墨多项式

式中λ1因此脉冲宽度由γ,β和w0决定.由(8),(11)和(13)式,可以得到如下相位和波前曲率

因此精确的自相似孤立波解可以表示为

特别地,当λ1=1时,得到w(z)=w0,波前曲率c(z) =0和相位

4.数值分析

为了验证解析解(14)式的有效性,我们对(1)式采用分步傅里叶算法进行数值仿真.此时我们取响应函数初始的光强3,λ θ2),相应的参数选择wm=12,μ=λ=P0=w0= a0=c0=1,q=0.

4.1.库墨-高斯呼吸子的传输特征

图1—图3分别是孤子KGmn(此时m=2,n= 1)光束在不同λ1参数条件下,解析解与数值模拟的比较.从这3个图中可以看出,当λ1>1时,光束在该种介质中传输,随着传输距离的增加4个斑点间的间距增加,光束展宽,光强减弱;相反,当λ1<1时,光束被压缩,光强增强,而斑点的个数(m×2= 4)保持不变.虽然这里我们仅仅展示了一个周期内的演化规律,但是这种周期性光斑收缩扩展的演化规律将不断重复.正因为孤立波的这种奇异的传输特征,我们称之为“库墨-高斯呼吸子”.从图中可以看出,解析解与数值模拟符合得很好,墨库-高斯呼吸子的传输是稳定的,对于其他的初始值,能够得到相同的结论.

4.2.墨库-高斯孤子的传输特征

图1 解析解KG21((16)式)与数值模拟((1)式)的光强在x-y平面上的轮廓分布比较 参数wm=12,μ=λ=P0=w0=1,q=0,λ1= 2.8.(a),(b),(c),(d)为解析解;(e),(f),(g),(h)为相应的数值解;(a)和(e),(b)和(f),(c)和(g),(d)和(h)的传输距离分别为

图2 解析解KG21((16)式)与数值模拟((1)式)在x方向上的归一化的光强分布比较 点线代表解析解,虚线代表数值解,其他参数同图1.(a),(b),(c),(d)的传输距离分别为

图3 解析解KG21((16)式)与数值模拟((1)式)的光强在x-y平面上的轮廓分布比较 参数λ1=0.2,其他参数同图1.(a),(b),(c),(d)为解析解;(e),(f),(g),(h)为相应的数值解;(a)和(e),(b)和(f),(c)和(g),(d)和(h)的传输距离分别为2β γz=0,π,π,π 632

图4 孤子KGmn的强度在x-y平面上的轮廓分布 q=0,其他参数同图1.(a)KG02,n=2;(b)KG12,n=2;(c)KG22,n=2; (d)KG32,n=2;(e)KG01,n=1;(f)KG11,n=1;(g)KG21,n=1;(h)KG31,n=1

当λ1=1时,得到w(z)=w0,衍射刚好与非线性抵消[20].这种情况下,KGmn光束的脉宽保持不变.由(16)式描述的这种空间孤子由两个参数n和 m决定.对于固定的n和不同的m(或固定的m和不同的n),KGmn空间孤子形成一族孤子群,它们有如下一些共同的性质(见图4):1)光强分布呈现多层的明暗相间破缺的环形光斑,随着半径的增加,光斑的强度逐渐下降;2)孤子群的层数决定于量子数n,形成n+1个层,每层光斑的个数取决于量子数为m,个数为2m; 3)当m足够大时,斑点形成项链[20],并且项链环中能清晰地看到明环的圈数较少;4)当m=0时光强的最大值位于传输中心轴上,形成高斯孤子.在强非局域条件下,当m=0时介质在对称性外场作用下,对介质进行对称性极化,使得介质中的光场和强度分布显然与角分布无关[24—26].

当q=1时,形成环状孤子.由图5可以清晰地看到孤子由一系列的明暗相间的光环组成,它们有共同的中心.当m≠0时,环心的光强为零;反之,当m=0时,光强的最大值在圆心.光强的径向分布规律如同图4.这种现象的物理来源于非局域.非局域非线性意味着介质的极化不仅与该区域的电场有关,而且与介质的周边区域的电场也有关[22—24].由于周边电场的影响,导致光场的衰减.

图5 孤子KGmn的强度在x-y平面上的轮廓分布 q=1,其他参数同图4.(a)KG02,n=2;(b)KG12,n=2;(c)KG22,n=2;(d)KG32,n=2; (e)KG01,n=1;(f)KG11,n=1;(g)KG21,n=1;(h)KG31,n=1

尽管调制深度q的不同影响孤子的性质,形成涡旋孤子或多极孤子;然而由(17)式知,孤子沿传输方向的相位性质决定于脉冲的初始宽度w0,量子数m,n,以及与波数相关的参数β,与q无关.相位随传输距离z线性增加.

5.结论

我们在极坐标求解了强非局域(2+1)维非线性薛定谔方程.分析发现,存在一群以自相似的方式传输的库墨-高斯孤子簇.通过数值模拟验证这些自相似波,结果表明它们是稳定的空间孤子群.

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PACC:4265S,0200,4270D

Two-d imens ional Kummer-Gaussian soliton clusters in strongly nonlocal nonlinearmedia＊

Xu Si-Liu1)2)Liu Hui-Ping1)Yi Lin1)†

1)(School of Physics,Huazhong University of Science and Technology,W uhan 430074,China)
2)(Department of Physics,Xianning College,Xianning 437100,China)

21 April 2009;revised manuscript

13 May 2009)

We solve the two-dimensional strongly nonlocal nonlinear Schrödinger equation in polar coordinates.An exact analytical solution of self-similar waves,namely Kummer-Gaussian soliton clusters,is obtained.Numerical simulations confirm the validity of the analytical solutions.It is shown that the nonlocal optical spacial solitons have large phase shift.

optical spatial solitons,self-similar technology,strongly nonlocal nonlinearity

＊国家重点基础研究发展计划(批准号:2006CB921605)资助的课题.

†通讯联系人.E-mail:hust316@163.com

＊Project supported by the NationalBasic Research Program of China(GrantNo.2006CB921605).

†Corresponding author.E-mail:hust316@163.com