井眼轨道的软着陆设计模型的改进解法

赵明君

(中国石油长城钻探工程公司工程技术部辽河分部,辽宁盘锦 124010）

井眼轨道的软着陆设计模型的改进解法

赵明君

(中国石油长城钻探工程公司工程技术部辽河分部,辽宁盘锦 124010）

井眼轨道的软着陆设计模型的求解可以归结为一个七元非线性方程组的求解问题。前人给出了数值迭代求解算法,然而并没有证明该迭代算法的收敛性,并且该算法是否收敛严重依赖于用户给出的迭代初始值。通过一系列的消元、化简的数学技巧,将七元非线性方程组化简为一元多项式方程,并在此基础上给出了软着陆设计模型的一个新算法。理论分析和实际算例表明,新算法的主要计算工作量是求多项式方程的非负实数根,其他未知数与实数根是简单的函数关系,计算量很小。新算法克服了迭代算法的初值依赖性以及迭代过程可能发散等缺陷,并且在设计模型有多个解的情况下,可以同时求出这些解。

软着陆;井眼轨道;钻井设计;多项式

刘修善等[1]将井眼轨道进入水平井靶体的过程类比于飞机降落着陆过程,提出了井眼轨道的软着陆设计模型,其宗旨是对入靶方向进行限制。在水平井设计中,入靶方向需与靶体轴线方向相一致(简单的长方体靶的情况下）。在进行修正轨道设计时,为了给后续的施工创造有利条件,如果其靶点不是最终目标点,而是原设计轨道上的某个中间点,也必须限定合理的入靶方向。文献[1]使用“圆弧段-直线段-圆弧段”实现了上述软着陆模型,并提出了一种迭代算法进行设计模型的数值求解。然而,文献[1]并没有讨论该迭代算法的收敛性,算法是否收敛、收敛速度怎样、收敛约束条件是什么等问题都没有解决。

本文使用“消元-化简-多项式方程求根”的方法给出了软着陆设计模型求解的一个全新算法。

约定:除非特别指明,文中具有长度量纲的变量的物理单位均为m,角度变量的物理单位均为rad。

1 数学模型

沿用文献[1]中的数学符号。井眼轨道有圆弧段AB、直线段BC、圆弧段CT构成(见图1）。

图1 软着陆轨道的数学模型

过始点A和末点T分别作圆弧的切线,交稳斜段的延长线与D点和E点。若线段AD、DE和ET的长度分别用u1、uW、u2来表示,则井眼轨道设计问题满足下面的几个方程:

式中:αA、φA——分别为始点A的井斜角和方位角; αW、φW——分别为稳斜段的井斜角和方位角;αT、φT——分别为末点T的井斜角和方位角;ΔXA,T、ΔYA,T、ΔZA,T——分别为始末点间的北坐标增量、东坐标增量和垂深增量。

另外,两个圆弧段所对应的圆心角θ1和θ2分别满足:

式中:R1、R2——分别为第一个圆弧段和第二个圆弧段的曲率半径。

在方程组(1）～(7）中,未知数为u1、uW、u2、αW、φW、θ1和θ2,共7个,与方程个数相等,故方程组为定解问题。

2 刘修善算法

然而,迭代法的收敛是有限定条件的,并且与迭代初始值有很大关系[2]。刘修善算法是否收敛没有理论上的保证,而且如何选择迭代初始值也没有具体的说明。

3 消元

解多元方程组的一般策略是消元和化简,将未知数的个数降到最少,将复杂的方程化简到已知可解的方程[3]。本文遵循这一策略对方程组(1）～(7）进行求解。记:

显然,式(41）和式(45）构成一个以u1和u2为未知数的二元线性代数方程组,方程组的系数为未知数u的多项式函数。使用克莱默法则[4]求得该线性代数方程组的形式解如下:

显然,F(u）是一个以u为未知数的多项式方程。

5 新算法

根据以上的理论准备,给出方程组(1）～(7）的一个新算法。

(1）使用实根分离算法[5]求出多项式方程(55）的全部非负实数根,记为νi,i=1,Λ,N,其中N为非负实数根个数。

从新算法的计算过程来看,主要计算工作量集中在求多项式方程(55）的实数根上,其余计算步骤仅仅是简单的公式计算。新算法从根本上解决了常规迭代算法固有的初值依赖性、迭代可能发散等缺陷;另外,如果井眼轨道设计问题有多个解的话,新算法还能同时求出这些解,这个特点是其他算法不具备的。

在进行数值计算时,为了避免数字反复相乘使多项式系数过大、从而增大计算误差,令:

显然,方程f(x）=0等价于方程F(u）=0,故在新算法中使用方程f(x）=0来代替方程(55）。

6 算例

在某多目标井设计中,要求上靶点的井斜角αA=75°、方位角φA=310°,下靶点的井斜角αB=91°、方位角φB=340°。如果这两个靶点间的垂深增量ΔZA,T=30 m、南北坐标增量ΔXA,T=180 m、东西坐标增量ΔYA,T=-100 m,试设计该靶段的井眼轨道。

根据本文新算法,首先可以算出:

求出上述解之后,再根据圆弧轨道计算方法计算轨道其他参数[6～8]。

7 结论

(1）井眼轨道的软着陆设计模型归结为求解一个7元非线性方程组,通过消元和化简,将7元非线性方程组的求解问题归结为等价的1元多项式方程的求解问题,并在此基础上,给出了软着陆设计模型的一个新算法。新算法克服了常规迭代算法对初值的依赖性和无法证明迭代过程收敛等固有缺陷。

(2）实例计算表明,新算法具有非常快的计算速度,并且能够正确判断软着陆设计模型是否有解。

[1] 刘修善,何树山.井眼轨道的软着陆设计模型及其应用[J].天然气工业,2002,22(2）:43-45.

[2] 李庆扬,莫孜中,祁力群.非线性方程组的数值解法[M].北京:科学出版社,1987.

[3] 吴文俊.吴文俊论数学机械化[M].济南:山东教育出版社, 1996.

[4] 编写组.数学手册[M].北京:人民教育出版社,1979.103-111.

[5] 陆征一,何碧,罗勇.多项式系统的实根分离算法及其应用[M].北京:科学出版社,2004.

[6] 鲁港,王刚,孙忠国,等.定向井钻井中空间圆弧轨道计算的两个问题[J].石油地质与工程,2006,20(6）:53-55.

[7] 鲁港,李晓光,单俊峰,等.平均井眼曲率的计算[J].钻采工艺,2007,30(4）:149-150,160.

[8] 张积锁,鲁港.圆弧井段井斜变化率和方位变化率的计算[J].石油地质与工程,2007,21(4）:68-70.

I mproved Solution to DesignM odel of SoftLanding in Borehole Trajectory

ZHAO M ing-jun(LiaoheBranch of Engi-neering&Technology Research Institute,GreatWallDrilling Corporation,PetroChina,Panjin Liaoning 124010,China）

The solution for design model of soft landing in borehole trajectory can come down to the solution with 7-element nonlinear equations.The algorithm convergence of known numerical iterative algorithm has not been proved,and the con-vergence of this iterative algorithm severely depends on initial iteration value from the user.7-element nonlinear equations are simplified to be one-variable polynomial equation by element elimination and s implification;and based onwhich,a new algorithm for design model of soft landingwas developed.Theoretical analysis and practical calculation examples show that the new algorithm ismainly for the calculation of nonnegative real rootsof polynomial equation,and calculation of functional relationship between other unknown number and real root is very less.The new algorithm overcomes the dependence on the initial value and probable iterative process divergence,and can get the solutions at the same timewhen there are several de-sign model solutions.

soft landing;borehole trajectory;drilling design;polynomial equation

TE243

:A

:1672-7428(2010）05-0010-04

2010-01-16;

2010-04-08

赵明君(1963-）,男(汉族）,辽宁本溪人,中国石油长城钻探工程公司工程技术部辽河分部工程师,石油工程专业,从事石油钻井领域技术服务和管理工作,辽宁省盘锦市兴隆台区。