由方阵诱导的某些子代数结构的同构刻画

李凤高, 胡国华

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

由方阵诱导的某些子代数结构的同构刻画

李凤高, 胡国华

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

用Pn×n表示数域P上全体n×n 矩阵构成的集合, 那么Pn×n构成数域P上的一个线性空间, 同时它又构成一个环. 在同构意义下, Pn×n的子空间的个数以及左(右)理想的个数被刻画.

线性空间; 子空间; 理想; 左理想; 右理想

Abstract:Let Pn×nbe the set of n×n matrices over a number field P. Then Pn×nare both a linear space over P and a ring. Some of characterizations about numbers of subspaces and left (right) ideals of Pn×nare given under isomorphisms.

Key words:linear space; subspace; ideal; left ideal; right ideal

设P是任一数域, 用Pn×n表示数域P上全体n×n矩阵构成的集合. 由文[1,2] 知, 集合Pn×n对于矩阵的加法及数与矩阵的乘法构成数域P的一个n2维线性空间. 由文[3,4,5,6] 知, 集合Pn×n对于矩阵的加法及乘法构成一个环. 在这篇文章中, 我们将刻画线性空间Pn×n的互不同构的子空间的个数及矩阵环Pn×n的互不同构的左(右)理想子环的个数.

1 子空间的同构计数

数域

P上线性空间V的一个非空子集W叫作V的一个子空间, 如果W对于V的加法和数乘运算来说也构成一个线性空间. 关于Pn× n 的互不同构的子空间的个数, 我们有

定理1设Pn× n是数域P上n×n 矩阵构成的线性空间, 那么Pn× n恰有n2+1个互不同构的子空间.

证明由文[1]、[2] 知, 同一数域上两个线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数. 由于 Pn× n作为数域P上的线性空间是n2维的, 故Pn× n 的任一子空间的维数取以下整数之一: 0,1,2,…,n2. 用Eij表示(i, j)位置元素为1而其它位置元素为0的n×n矩阵. 对于任一 0≤m≤n2, 设 m=nk+r, 其中r∈Z， 且 0≤r＜n, 由E11,…,E1n,…,Ek1,…,Ekn,Ek+1,1,…,Ek+1,r 生成的子空间

就是Pn×n的一个m维子空间. 因此, Pn×n恰有n2+1个互不同构的子空间.

2 左(右)理想的同构计数

环R 的一个非空子集I叫作R 的一个左理想 (子环), 如果对任意的r∈R,a, b∈I , 有a-b, ra∈I .类似地可定义R的一个右理想 (子环). 如果环R的一个非空子集I既是R 的一个左理想, 同时又是R的一个右理想, 则称I为R 的一个理想 (子环). 关于矩阵环Pn×n的理想, 有

定理2[7]矩阵环Pn×n只有平凡理想: {0}和Pn×n.

关于矩阵环Pn×n的单边理想的部分讨论可见[8]. 现在我们给出一些更进一步的结果.

引理3设Ω是矩阵环Pn×n的任一左理想, T是Pn×n中任一可逆矩阵, 则

是Pn×n的一个左理想.

证明因为零矩阵在ΩT中, 故ΩT≠Φ. 任取AT, BT∈ΩT, 其中A, B∈Ω. 由Ω是Pn×n的左理想知A-B∈Ω, 从而AT-BT=(A-B) T∈ΩT. 对任意的X∈Pn×n, 由Ω是Pn×n的左理想知XA∈Ω, 从而X( AT)=(XA) T∈ΩT. 由左理想的定义便知结论成立.

对于任意的A1, A2,…,Am∈Pn×n, 我们用符号〈A1, A2,…,Am〉表示由A1, A2,…,Am生成的左理想. 注意

引理4设Ω是矩阵环Pn×n的任一左理想. 令 r=max{rankX| X∈Ω}, 那么存在一个可逆矩阵T∈Pn×n, 使得ΩT=〈E11,E22,…,Err〉.

证明设A∈Ω且rankA=r. 由文[1]、[2] 知, 存在可逆矩阵S, T∈Pn×n使得

注意ΩT是Pn×n的一个左理想, SAT∈ΩT, 故E11=E11SAT,E22=E22SAT,…,Err=ErrSAT 都在ΩT中.于是ΩT⊆〈E11,E22,…,Err〉. 现在断言:ΩT中每个矩阵的第r+1,r +2,…,n列都是零. 若不然, 存在B∈Ω使得BT的第r+1,r+2,…,n列不全为零. 不妨设BT的(1,r+1)元b1,r+1≠0, 而BT=(bij)n×n. 注意

因此ΩT=〈E11,E22,…,Err〉.

定理5矩阵环Pn×n至多有n+1个互不同构的左理想.

证明设Ω是Pn×n的任一左理想, 且r=max{rankX| X∈Ω}. 由引理4 知, 存在一个可逆矩阵T∈Pn×n, 使得 ΩT=〈E11,E22,…,Err〉. 注意T-1ΩT=ΩT , 直接验证可知,

是左理想Ω到ΩT的一个同构映射. 因此Pn×n的任一左理想与下面的左理想之一同构:

这表明Pn×n至多有n+1个互不同构的左理想.

推论6 矩阵环Pn×n至多有n+1个互不同构的右理想.

证明 注意Ω是Pn×n右理想当且仅当ΩT={AT|A ∈Ω}是Pn×n的左理想. 于是从定理5 可得所需的结论.

[1] 张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数(第四版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1999

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2003

[3] 张禾瑞. 近世代数基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1978

[4] 熊全淹. 近世代数[M]. 武昌: 武汉大学出版社, 1991

[5] 杨子胥. 近世代数(第三版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2003

[6] 徐诚浩. 抽象代数——方法导引[M]. 上海: 复旦大学出版社, 1989

[7] 杨子胥, 宋宝和. 近世代数习题解[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2003

[8] 左连翠. 矩阵环中的单侧理想及伪理想[J]. 济南大学学报, 1999, 9(2): 19～21

Isomorphic Characterization of Some Subalgebra Structures Induced by Square Matrices

LI Feng-gao, HU Guo-hua
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

O151.21, O153.3

A

1672-5298(2010)01-0017-03

2009-12-11

湖南省高等学校科学研究一般项目(09C470)

李凤高(1953- ), 男, 河北张家口人, 湖南理工学院数学学院教授. 主要研究方向: 代数组合论