基于二维希尔伯特变换的相位一致模型图像特征检测方法

王 珂,肖鹏峰

南京大学地理与海洋科学学院地理信息科学系,南京210093

基于二维希尔伯特变换的相位一致模型图像特征检测方法

王 珂,肖鹏峰

南京大学地理与海洋科学学院地理信息科学系,南京210093

相位一致方法是从频域中的相位信息理论中延伸出的一种图像特征检测方法。其原理是指图像特征如跃级边缘、线形、屋脊形和马赫带等,总发生在相位的最大叠合处。该原理通过构造局部能量模型,并经标准化后,度量其图像各个位置的相位一致值。在前人的基础上对该模型进行改进,提出以二维的希尔伯特变换代替一维希尔伯特变换,从而在全方向上考虑各点的相位一致。改进算法后,相位一致模型的分子部分,即局部能量,是利用去DC(Direct Current,直流)分量算子和二维希尔伯特变换算子以卷积的形式求取,从而简化算法实现过程。同时为了抑制噪音的影响,在相位一致模型中的分母部分中引入了图像DC分量。最后以自然图像和遥感图像为试验对象进行图像特征检测,结果表明该改进方法可以有效地提取图像特征。

相位一致;二维希尔伯特变换;局部能量;图像特征检测

1 引 言

基于图像的灰度值的特征提取方法在特征提取领域中应用最为广泛。在此类方法发展过程中,Roberts[1]、Prewitt[2]、Sobel[3]、Marr[4]等人作出重大贡献。为了减少图像噪声的影响, Canny[5]、Kundu[6]和Bergholm[7]通过设定阈值的方法来优化某些模型。基于灰度的特征提取仅仅对于边缘有很好的效果,但是在图像空间,某个特征是由多个不同的特征混合组成的。除此之外,基于灰度检测算子对于图像灰度级太过于依赖,从而不能获取足够的图像信息。

在马赫带研究过程中,Morrone[8]发现图像的特征处具有高度的相位一致性,从而提出了相位一致性原理,并构建局部能量模型来实现。在局部能量的计算过程中,Morrone[9]借助了一维希尔伯特变换。其后的研究中,Kovesi[10-11]以 Log Gabor[12]滤波器代替了希尔伯特变换。近年来许多学者将相位一致模型用于各个领域,如遥感图像处理[13-14]、医学图像处理[15-16]、面部识别[17]等领域。

Morrone基于相位一致性原理的图像特征检测中,学者们使用一维的希尔伯特变换来计算图像的每一点的局部能量。尽管可以从水平和竖直的两个方向分别计算,但是此过程没有考虑到整个方向的计算。本文利用2-D希尔伯特变换[18]来计算局部能量,简化计算过程的同时,可考虑所有方向的影响,从而得到更好的结果。同时,对图像进行加窗以后来计算局部能量,并用该窗口的傅里叶分量之和对局部能量进行标准化。

2 相位一致性原理

相位一致性原理是:人类视觉所感知的图像特征总发生在图像各谐波分量的最大叠合处。以一维信号为例,信号 F(x)可以表示为一系列的傅里叶序列,其表达式为

其中,an、x、φn分别为n次谐波的幅值、角频率和初相。当φn(xi)=90°时,点 xi(为空域信号的第i个点)处的值为,即各个傅里叶分量的总和。当φn(xi)=0°时,点xi的值为0。据此性质,可以很好地提取其相对应的特征。而当相位一致性最大处的角度不是90°或者0°时,即便是为图像特征点,但是其 xi值介于与0之间,很难进行特征识别。因此,必须构造一个函数来突出相位一致性最大处。由于希尔伯特变换是幅频特性为1的全通滤波器,即信号经过希尔伯特变换后,其负频率作正90°的相移,而正频率作负90°的相移,而其幅度值不改变。基于此特性,Morrone利用一维希尔伯特变换构造局部能量来描述相位一致性,其表达公式为

4)修改功能：可以对学生的基本信息及各科成绩进行修改，并有提示确认修改对话框。当修改了学生的各科成绩后，学生成绩的总分自动重新计算并修改。当各科成绩未做改动时，修改其总分，总分不会有变化。

而希尔伯特变换表达式为

根据公式(1)、(2)、(3),局部能量公式亦可表达为

当信号中某一点的谐波分量的相位一致时,即φn(xi)在各个谐波分量上的值相同时,公式 (4)变为

对于整个图像来说,相位一致最大处的局部能量总小于图像的傅里叶分量之和 ∑nan,因此,可以引入变量PC(为区别相位一致概念,下文以PC表示其相位一致计算结果)来表征信号各点的相位一致大小,其定义为

3 2-D相位一致模型

Morrone等人在图像特征检测试验中,是借由一维希尔伯特变换来构建局部能量的,并分别以行列方向分别度量图像中各点。本文在构建局部能量过程中引入了二维希尔伯特变换,来检测二维图像特征。由此二维信号作为整体的信号,并以二维希尔伯特变换来求其 H(x,y)。其二维的相位一致模型可表达为

其中,m、n为图像的行列数。

3.1 2-D希尔伯特变换

希尔伯特变换仅仅改变其相位值,而对其信号的幅度不加任何改变。二维希尔伯特变换在频率域和空域中均有相应的表达公式。在频率域和空域中,Read[18]、Bose[19]等人对其表达形式进行了研究,在频域中,通过定义二维离散希尔伯特变换并将其公式在频率域展开来完成。对于一个N1×N2矩阵的二维信号,其二维离散希尔伯特变换定义为

其中,bdy(i,j)被用来定义矩阵的边界。

在空域中,二维希尔伯特变换算子的余切空域表达如下

其中,i=0,1,2,3,…,N1-1,j=0,1,2,3,…, N2-1。

3.2 2-D相位一致模型建立

Morrone和Owens[8]已经证明当图像信号的均值(即图像的灰度平均值)理论上为0时,其局部能量将明显地表征图像特征。而图像信号的均值也等同于图像的 DC分量(direct current component,直流分量)值,傅里叶变换后的零次谐波的分量。在图1(b)中一维信号的局部能量的两个极大值分别为4.7和5.8,而在320到640之间的信号的大部分信号的局部能量接近4.7,这就造成了无法将此部分的信号与0处的信号的特征进行区分。图1(d)为去除DC分量(即去除图像的均值)后的局部能量分布结果,其图像的特征点局部能量值接近4.5,而其余部分信号的局部能量值与特征点有明显差异。

图1 原始信号在去DC分量前后的局部能量差异Fig.1 The difference of local energy of the original signal and the signal removed the DC component

如上所述,二维信号即图像矩阵也需要去除DC分量,即减去整个图像灰度矩阵的均值。为方便卷积运算,给出其图像去DC分量的矩阵表达式:

其中,n为卷积窗口的大小,其取值为 n=2i+ 1(i=1,2,3,…)。

对原图像进行加窗处理,可以突出各个局部的图像特征。本文以一维的数字信号(图2(a))为例来阐述。图2(b)是不加窗的PC值计算结果,尽管PC值在各个点均达到了峰值,但是很难用阈值来提取特征点。而经过加窗出来的图2(c)结果,则更为凸显其特征点,其各个特征点的值接近1。

图2 基于整个信号所生成的PC值以及分窗处理的PC值Fig.2 The PC produced over whole original signal and by windowing function of original signal

对于整幅图像而言,逐步分窗来计算PC值过于繁琐,所以我们引入卷积运算来简化其运算过程。这就需要构建算子Mf和Mh来与原图像进行卷积运算以得到 H(x,y)和 F(x,y)。根据二维希尔伯特变换和去除DC分量的矩阵公式,其算子 Mf(式(11),图3(a))和 Mh(式(10),图3(b))的形状如图3所示。

图3 去图像DC分量算子和二维希尔伯特变换算子Fig.3 The operators to remove the DC component from original image and the operators of 2D Hilbert transform

在PC值的计算过程中,其局部能量需要与当前窗口下的傅里叶分量之和(不包含DC分量)进行商运算。由于信号被截断后,其 PC值反应的是当前窗口下图像特征明显的相对程度。所以对于窗口下一段相对比较平稳的信号,即使信号有细微的波动就会造成PC值的很大波动,从而使得噪音影响加大。为提高图像特征提取的质量和抑制噪音,需要在PC值计算公式中的分母位置引入一个变量来减少噪音的影响。公式为

由于噪音抑制变量参数ε很难确定,而DC分量则是当前窗口的均值,所以在一定程度上反映了当前窗口各个点的分布特征。基于此,本文将当前窗口下原图像的DC分量值引入到分母中,以起到抑制噪音的作用。同时由于DC分量的引入也导致其图像特征位置的PC值不是接近1,而是远低于1,但是其检测结果并不受影响。将DC分量代替ε后,即使用原始信号或者图像在当前窗口下的傅里叶分量之和作为分母,公式(12)可化为

其中,a′m×n是当前窗口下原图像的傅里叶分量。

综上所述,用于检测图像特征的PC值计算过程如下:①原始图像 F与Mf和Mh卷积得到F′和 H′;②求其 F′和 H′的平方之和;③开方后,将其值除以当前窗口下原始图像信号的傅里叶分量之和。

4 图像检测结果及分析

在此节,本文给出一系列的图像在相位一致模型下的特征检测结果。图4显示了三种由不同大小窗口运算得到的检测结果。尽管本文为了抑制噪音,将原始图像的DC分量引入了相位一致模型(式(12)),但是噪音依然存在,图4(b)是用一个较小的窗口来计算PC值的检测结果,从图中可以看出其噪音明显;而图4(c)则是在较大窗口下计算PC值的结果,其边缘变得模糊。所以窗口选择的大小直接决定了噪音的大小。图4(d)为其最佳窗口下的检测结果。

为进一步说明其基于二维希尔伯特变换的相位一致模型的可行性,图5又给出两幅图像(图5(a)和图 5(c))的检测结果(图 5(b)和图5(d))。

图4 原始图像在不同窗口大小而得到的检测结果Fig.4 The detection of original image from phase congruency with a different size of window

图5 特征检测结果Fig.5 The corresponding features detection

基于以上三个理想检测结果,设定合适的阈值得到如下结果(图6)。

图6 检测结果的二值化Fig.6 The binarization of the features detection

相位一致性原理不但可以应用于简单的自然图像等,还可以应用于其他领域的图像,如遥感图像,图7给出两幅截于IKONOS遥感影像的图像。

图7(a)中主要地物为厂房,厂房周围有停泊的汽车,图7(b)中主要地物有农田、池塘、小路以及林地。由于遥感图像是真实地物的反应,所以首先每个图像中都不是单一的地物类型,再次即使是同一地物其光谱反应也不一,如图7(b)中虽然同为农田,但农田之间仍然有很大的色调差异。同时图像中还有阴影的影响,如图7(a)所示,厂房边缘处有阴影。这些因素均提高了遥感图像特征的复杂程度,本文在此不对遥感图像特征提取做进一步研究,仅利用本文所提的基于二维希尔伯特变换的相位一致性原理对上述两图像进行特征提取试验(图 8)。图 8(a)中,其原图像(图7(a))中的厂房边缘轮廓,阴影边缘,车辆以及西北部分的道路的内部结构纹理,均被很好地检测。而图7(b)中的小路,以及农田,池塘和林地的边缘轮廓等图像特征,也在图8(b)中得到不错的检测结果。但是两幅图像仍然受到了原图像的噪音影响。图8(a)的检测结果要优于图8(b)。图7(a)中除去汽车的尺度比较小以外,厂房、阴影边缘和道路内部结构纹理较为接近,而图7(b)中林地,农田结构纹理以及池塘边缘,小路等特征较为复杂,从而提高了检测的难度。

图7 IKONOS图像Fig.7 IKONOS image

图8 IKONOS图像特征检测结果Fig.8 The corresponding features detection results

上述的自然图像和遥感图像均得到了较好的检测结果。首先,对于图4而言,由于检测对象的尺度相近,其检测过程所注意的是选择合适的卷积窗口,以达到理想的检测效果;其次,原图像的噪音对检测结果有一定的影响(如图4、图5(c)和图7),而在图5(a)中,由于原图像没有噪音,其最终检测结果较其他图像理想。同时,在保证检测效果的前提下,应适当控制窗口大小以控制噪音影响;最后,图8的检测结果显示了本文所提的基于二维希尔伯特变换的相位一致模型在遥感图像处理中具有应用价值和意义。但遥感图像的地物类型较为复杂,而且噪音成分比较大,因此在遥感图像特征的提取过程中,需根据遥感图像包含的地物类型的不同,来决定卷积窗口相应的尺寸,以达到理想的图像特征检测效果。

5 结 论

相位一致性原理的阐述过程是基于整个信号而言,这就造成很多特征无法明显表现。为突出各个局部细节特征,本文将其图像进行加窗运算,即通过建立Mf和Hf算子与原图像进行卷积,并除以其去除DC分量图像的傅里叶分量之和。但是加窗后,虽然突出了各个细节,但是图像噪音也变得更加突出。

为避免一维希尔伯特变换计算局部能量的不准确性,将二维希尔伯特变换引入到局部能量模型中,从而可以从各个方向来考虑图像各个点的局部能量。同时,当前窗口下的原始图像的DC分量引入 PC公式中的分母中,以减少噪音的影响。

本文基于二维希尔伯特变换所建立的相位一致性模型,在图像特征提取过程中,取得了较为满意的结果。同时,此改进模型是对相位一致性原理的一种新的尝试。但是,一些不足之处仍然存在,尽管本文已经通过修改相位一致模型来抑制噪音,并确实减少了一部分噪音,但是其噪音的影响依然很大。下一步工作将进一步完善该模型,并更为有效地控制噪音影响。

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(责任编辑:雷秀丽)

The Algorithm of Image Features Detection from Phase Congruency Model Based on 2-D Hilbert Transform

WANG Ke,XIAO Pengfeng
Department of Geographical Information Science of Nanjing University,Nanjing 210093,China

The algorithm of phase congruency developed from phase information of image in frequency domain,is employed for image feature detection.The theory of phase congruency is that image features,such as step edge, roof,Mach band and delta,always occur at points where the phases of harmonic components come to the maximum congruency.This algorithm is realized to extract the image features by constructing the local energy model being normalized to get the value of phase congruency of every point in image.This paper introduces the 2-D Hilbert transform instead of 1-D Hilbert transform to propose the algorithm of phase congruency for detecting the image features.The modified algorithm can take account of the full directions of the image features.Meanwhile,the proposed method simplifies the calculation of the numerator of local energy by convoluting the original image with the window operator to remove DC(Direct Current)component of current window and 2-D Hilbert transform respectively.Moreover,this algorithm makes the denominator of the model of phase congruency adding the DC component to suppress the noise of image.The modified algorithm of phase congruency is implemented into the natural image and remotely sensed imagery,and the results show that the modified algorithm is effective to detect image features.

phase congruency;2-D Hilbert transform;local energy;image feature detection

WANG Ke(1982—),male,PhD,majors in remote sensing digital image processing and the theory and application of spatial relationships.

E-mail:wangke_A@hotmail.com

1001-1595(2010)06-0605-06

TP751.1

A

国家863计划(2008AA12Z106);国家自然科学基金(40801166,40771137)

2009-12-19

2010-04-25

王珂(1982—)男,博士,主要研究方向为遥感数字图像处理、空间关系理论与应用。