动态规划法在边坡工程稳定分析中的应用研究

2010-08-30林义国黄少敏

中国水能及电气化 2010年9期

林义国，黄少敏

（1.福建江河电气化公司，福建福州 350001；2.福建水利电力职业技术学院，福建永安 366000）

1 前言

边坡是人类生存的重要环境，甚至是工程建筑的重要组成部分。在水利水电工程建设中，也经常遇到边坡稳定问题。传统上，对边坡工程的稳定分析多数采用极限平衡理论方法，但是极限平衡理论方法一般都引入较多的假定条件，因此分析的结果往往与实际情况并不十分吻合。随着计算机软件、硬件的飞速发展，采用理论体系更为严格的方法进行边坡稳定分析已经成为可能。有限单元法全面满足了静力许可、应变相容和应力、应变之间的本构关系[1]，因此可较为理想地分析边坡稳定的应力、变形和稳定性。但是如何利用有限元的计算结果，确定安全系数和临界滑动面，这是很有意义的工作，各国专家学者对此进行了大量的研究分析，取得了很多研究成果，也推动了边坡工程稳定性研究理论和方法的发展。

在利用有限元应力场搜索临界滑裂面的工作中，许多学者都做了有益的尝试。John Krahn 2004年直接沿用条分法中使用的搜索方法，假设滑移面的形状，并采用试算或其它优化算法搜索临界滑移面[2]。Giam和Donald 1988年提出一种由已知的应力场确定临界滑移面及最小安全系数的方法，称为模式搜索（CRISS）法，它根据有限元计算得到的应力场，由应力水平较高点出发，形成一个由坡顶到坡底的破坏面[1]。另外还有许多不同的方法，由于不同的边坡稳定研究方法具有不同的优缺点，适用于不同的工程地质环境，因此为促进边坡研究新方法的出现和传统方法的改进与发展。本文在前人研究的基础上，尝试利用有限元法计算结果，在已知边坡应力场的情况下，引入动态规划法搜索边坡的最危险滑动面位置，并求出最小安全系数进行边坡工程的稳定分析研究。

2 动态规划法确定滑动面基本原理[3]

2.1 安全系数F的定义

采用公式（1）的形式，如下所示：

式中：σ是滑移面上一点的法向应力，τ是滑移面上一点的切向应力，c是粘聚力，准是内摩擦角，△li是滑移面上一段的长度。

2.2 动态规划法确定危险滑动面

动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，并创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。应用于边坡稳定分析时，主要思路是通过引入辅助函数G：

式中：Ri是滑移线上第i段的抗滑力，Si是滑移线上第段的滑动力。

动态规划可以找到一条路径，这条路径作为滑移面，使得目标函数公式（2）取得最小值。计算是一个迭代过程，第一步需要假定安全系数，找到滑移面后更新安全系数F，然后重新搜索新的滑移面，直到前后两次安全系数的差值小于设定的阀值，迭代终止，一般迭代次数不会超过5次就会收敛[4-5]。

计算简图如图1所示，图中搜索网格的竖格线代表不同的搜索阶段（Stage），横格线代表不同的搜索状态（State）。当搜索网格足够密时，就可以给出足够准确、光滑的滑移面。具体的搜索步骤如下：

定义优化函数为 Hi（j）：初始阶段到点（i， j）—i阶段、状态的辅助函数G的最小值。则点（i+1，k）的优化函数可定义为：

终结阶段的优化函数：

终结阶段的最优点就是满足hn+1（k）=minhn+1（j）的点，根据公式（5）可知，在从初始阶段任意点到终结状态任意点的所有路径中，只有以点（n+1，k）为终点的某条路径可以使G取到最小值。知道了终结阶段的最优点，根据公式（3）就可以回溯得到上一阶段的最优点，逐步回溯至初始阶段，也就得到了使G取到最小值的那条最优路径。

这种方法不需要假设滑移面的形状，几次迭代搜索后可以自动找出临界滑移面。为了求得滑移面的起点和终点，需在实际土坡范围外设置虚拟计算单元，需要另外建立搜索网格。同时需要判断搜索网格中节点所在的单元，并插值得到这些节点的应力。