提高级配指标计算精度方法研究

2010-08-16莫林利赵秀绍

华东交通大学学报 2010年6期

莫林利,赵秀绍

(华东交通大学 1.软件学院;2.土木建筑学院,江西南昌 330013)

颗粒分析试验是测定干土中各种粒组所占该土总土质量的百分数的方法,借以明确颗粒大小的分布情况,供土的分类、判断土的工程性质及选料之用。传统方法采用人工计算,手工绘制级配曲线,需要花费一定的时间且易出错,近年来工程人员对此进行了改进并逐渐实现了计算机软件辅助计算。黄碧霞[1]利用数字图像处理分析了粗集料颗粒的大小分布,采用Visual Basic编制了有针对性的数字图像处理DIP程序以获得级配曲线。丁丽萍[2]尝试编写应用软件替代人工分析,阐述了开发颗分应用软件的思路和原理。潘福营[3]利用EXCEL软件可以自动进行计算并自动生成相应的颗粒分析级配曲线,具有快速、准确、节省工作量的效果。戴清等[4]在标准方程、叠加拟合方程等相关方法的基础上,推荐了一个泥沙颗粒级配曲线方程,该方程考虑了泥沙的非均匀性。封光寅等[5]通过理论分析和研究,论述了不同种泥沙颗粒级配曲线的适用性与有关特征值之间的关系,同时还介绍了一种新的泥沙颗粒级配曲线绘制方法。

以上研究表明,有些程序或软件已经能非常好的完成土粒级配曲线的绘制,但基于级配曲线自动求得土的不均匀系数Cu与曲率系数Cc在目前的研究中还比较少见,仍需要进一步研究。

1 级配曲线的传统作图法[6-7]

当颗粒分析试验完成后,首先计算小于某粒径试样质量占试样总质量的百分比。以表1中樟树八景镇货场工程土样筛分数据为例。然后以小于某粒径的试样质量占试样总质量的百分比(p/%)为纵坐标,以颗粒粒径(d/mm)为横坐标,在单对数坐标上绘制颗粒大小分布曲线,如图1所示。

在级配曲线上分别查得d60、d30、d10(其含义为小于对应粒径的土含量占总土质量的百分比分别为60%、30%、10%),按以下公式计算不均匀系数 Cu与曲率系数Cc:

表1 樟树八景镇货场工程土样筛分数据表

式(1)和(2)中,d60,d10,d30—粒径分布曲线的纵坐标上p等于60%,10%,30%时对应的粒径。

当Cu＞5且 Cc在 1～3时,土样为级配良好的土。其对路基填料定名非常重要,例如级配良好的砾砂为A级填料,级配不良的砾砂为B级填料。由于在坐标纸上读d60,d30,d10时受人为因素影响较大,造成计算精度较低。

图1 作图法对应的级配曲线

2 几种常见数解法的对比

2.1 线性插值

若各点间采用线性插值,则相当于用直线把相邻两点连接起来,和Excel中的折线图类似,但违反了土工试验规范中用光滑曲线连接的原则,作图报告不美观,计算级配指标时会造成较大的偏差。

2.2 多项式拟合

在作图法的基础上,林轩昌在“颗粒分析试验中特征粒径对应的土质量百分数的拟合计算”[8]一文建议颗粒分配曲线可采用4次多项式拟合提出了数解法,大大提高自动化程度。在樟树八景镇货站工程土样应用中发现,4次多项式拟合时有许多点不在曲线上,当提高多项式次数时,拟合曲线线形起伏变化大,出现了更大的偏差,见图2中的(a)(b)。

图2 土样级配曲线多项式拟合情况

由图2(a)、(b)可知,利用多项式拟合求解 Cu与Cc时,可能出现较大的偏差,特别是Cu接近于5,Cc接近于1或3时,严重时可能影响填料定名。

2.3 Lagrange插值与分段抛物线插值

将线性插值法应用于非线性函数的数据中,显然计算精度不能满足要求,或者说用直线逼近曲线造成的误差较大,尤其当两个插值结点相距较远时。为了提高精度,可采用Lagrange插值法。Lagrange插值法是n+1个结点的多项式计算方法,可分为直接Lagrange插值与一元三点Lagrange(分段抛物线插值),相对于多项式拟合,其可保证各个试验点均在直线上,但其采用了分段插值,易造成级配曲线的不连续,如图3所示。

图3 Lagrange插值的非连续性

3 三次样条函数插值原理及在级配曲线中的应用

Lagrange插值方法一般具有较高的精度,但当插值点增多时,所得插值曲线往往会带来插值的不稳定性(曲线非连续或结点处不光滑)。样条函数插值既能保证结点处曲线连续,又能保证结点处有一阶和二阶连续导数。从工程角度上讲,这个样条函数已相当光滑。

3.1 样条插值方法原理

对给定的插值序列(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)有n+1个插值结点x0＜x1＜…xn,其对应函数值为y0,y1,…yn,若在[a,b]上插值函数满足下面3个条件:

(1)插值条件,即

(2)连接条件,即在整个区间[x0,xn]上,结点xi(i=0,1,2,…,n-1)处具有一阶和二阶连续导数

(3)在每个子区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上S(x)都是三次多项式,则称函数S(x)为三次样条函数,具体推导过程不再详述。

3.2 工程应用

本程序在Visual Basic程序设计语言环境下实现。设Public Function YangTiao(X()As Double,Y()As Double,X1 As Double)As Double为Visual Basic中已经编制好的样条函数,以筛分标准筛粒径lg d作为数组d(),以小于标准筛粒径土所占百分比为p(),以K作为d的插值,YangTiao返回K插值后小于K所对应的百分数值,为双精度型。其调用方法可以通过以下循环调用:

For K=d(0)To d(UBound(d))Step 0.001'样条曲线拟合

Y1=YangTiao(d(),p(),K)

Picture1.PSet(K,Y1)

调用后得到插值序列(di,pi),然后把插值后的点顺次连接起来,则可得到光滑的级配曲线,如图4所示。