关于连续乌利松空间的论证＊

武秀美

(菏泽学院数学系,山东菏泽 274015）

关于连续乌利松空间的论证＊

武秀美

(菏泽学院数学系,山东菏泽 274015）

研究 Stepanova的连续分离族在线性序空间和广义序空间中的作用,并给出一个定理.进一步用这个定理证明Michael直线的极小线性序闭扩张有一个连续分离族.

连续乌利松空间;连续分离族;线性序拓扑空间

1 引言与预备知识

最早在 1960年,Alexander V.Arhangel’skill在文献[1]中介绍了一种关于度量空间在完全满射下的原像所形成的空间,他称为 p-仿紧空间.30年以后,Stepanova在文献[2,3]中介绍了关于 p-仿紧空间可度量化的充分必要条件.

定义 1 拓扑空间 X是连续乌利松的,如果

1)对于任意不同的两点 x,y∈X,存在 fx,y∈Cu(X)使 fx,y(x)≠fx,y(y),其中 Cu(X)是拓扑空间 X上的所有连续实值函数的集合;

2)函数 (x,y)|→fx,y是从X2Δ→Cu(X)上的一个连续函数.其中Cu(X)带上一致收敛拓扑,Δ={(x,x)∶x∈X}.

这样,我们称{fx,y∶(x,y)∈X2Δ}为拓扑空间 X上的一个连续分离族.

显然,对于任意的度量空间 (X,d)通过 fx,y(z)=d(x,z)定义了一个连续分离族.需要注意的是这个连续分离族实际上仅仅依赖于它其中的一个参数,譬如 x.在前面提到过,Stepanova文献[3]中给出了 p-仿紧空间是连续乌利松当且仅当它是可度量化的.自从那以后,连续乌利松空间开始被大量研究.

本文研究 Stepanova的连续分离族在线性序空间和广义序空间中的作用.

先来回忆一下线性序拓扑空间的概念.线性序拓扑空间是一个三元组 (X,λ,≤),其中 (X,≤)是一个线性序集,λ是 (X,≤)上的区间拓扑.广义序空间是一个三元组 (X,τ,≤),其中 (X,≤)是一个线性序集,τ是 (X,≤)上的一个拓扑,并且有λ⊆τ,τ具有一个由有序凸集组成的基.一个集合A是有序凸集如果对于任意 x∈A,都能找到 A中的两点使 x位于这两点的连线上.

定义 2[4]设 X=(X,τ,≤)是广义序空间,λ =λ(≤)是 X上的区间拓扑,R={x∈X/[x,∞)∈τ-λ},L={x∈X/(-∞,x]∈τ-λ}.那么定义 X＊如下:

X＊=(X ×{0})∪{〈x,n〉/x∈R,n<0且 n∈Z}∪{〈x,m〉/x∈L,m>0且 m ∈Z}⊆ X ×Z其中 Z是整数集.X＊带上字典序拓扑成为一个线性序拓扑空间,并且是 X的极小线性序闭扩张.

2 主要结果

定理 1 设R是一条实直线,I是R的子集,Y是将 I中的每一点孤立化添加到实直线上的通常拓扑而得到的广义序空间.那么集合 X=(R×{0})∪(I×Z)和它上的字典序开区间拓扑就是一个线性序拓扑空间,且具有一个连续分离族.

证明 设 X=(R×{0})∪(I×Z)是一个具有字典序开区间拓扑空间.那么显然 X是一个线性序拓扑空间.下面证明 X有连续分离族.

定义Φ((x,i),(y,i)) =f(x,i),(y,i),其中 f(x,i),(y,i)是集合{(x,j)}的特征函数,当 x=y.如果 x≠y有f(x,i),(y,j)((z,k)) =|x-z|,那么 f(x,i),(y,i)((x,i))≠f(x,i),(y,j)((y, j)),且每一个 f(x,i),(y,i)是从 X到 R上的连续的.

下面证明Φ是连续的.假定 ((xn,in),(yn,jn))是 X2Δ中的一个序列,且收敛于 ((x0,i0),(y0,j0))∈X2Δ.下面给出证明序列 f(xn,in),(yn,jn)一致收敛于 f(x0,i0),(y0,j0).根据 x0,y0的范围分四种情形证明.

情形 1 如果 x0,y0∈I,那么序列 ((xn,in),(yn,jn))一定是常序列.因为 (x0,i0)和 (y0,j0)是孤立点.

情形 2 如果 x0∈I且 y0∉I,那么 (x0,i0)是孤立点.假设对于所有的 n,都有 (xn,in)=(x0,i0).进一步,如果 y0∈I,则 j0=0.因为 x0≠y0.所以假设对于每一个 n,(yn,jn)≠ (x0,i0)=(xn,in).因此,对于每一个 (z,k),f(xn,in),(yn,jn)((z,k)) =|xn-z|和 f(x0,i0),(y0,j0)((z,k)) =|x0-z|.所以 xn→x0,结论得证.

情形 3 如果 x0∈I(其中 i0=0),且 y0∈I.这种情况同情形 2.

情形 4 如果 x0∉I且 y0∉I.那么 i0=0=j0,即有当 ((x0,i0),(y0,j0))∈X2Δ,有 x0≠y0.因为 xn→x0且 yn→y0,所以假定每一个 xn和 x0一样位于 (x0+y0)/2的同一侧,每一个 yn和 y0一样位于 (x0+y0)/2的同一侧.那么对于每一个n,有xn≠yn,但是有f(xn,in),(yn,jn)((z,k))=|xn-z|,且f(x0,i0),(y0,j0)((z,k))=|x0-z|.结论得证.

对于第一可数线性序空间,寻找一个具有连续分离族但不可度量化的空间是比较困难的.M ichael直线的极小线性序闭扩张就是这样一个空间.

例 存在第一可数线性序拓扑空间,它具有连续分离族,但不可度量化.

证明 设 X=M＊是M ichael直线的极小线性序闭扩张,也就是 X=(R×{0})∪ ((RQ)×Z),带上字典序开区间拓扑.那么 X是线性序拓扑空间.由定理 1知,X有连续分离族.

[1] Arhangel-skiiA V.On a class of spaces containing allmetric and all locally bicompact spaces[J].Dokl.Akad.Nauk SSSR,1963,151(9):751-754.

[2] Stepanova EN.Continuation of continuous functions and themetrizabilityof paracompactp-space[J].Math.Notes,1993,53(3):308-314.

[3] Stepanova E N.On the metrizability of paracompactp-space[J].Moscow Univ.Math.Bull,1994,49(6):41-43.

[4] LutzerD J.On gereralized ordered spaces[D].DissertationesMath,Warszawa:Pans twoweWydawnictwo Naukowe,1971

A Note ON Continuous Urysohn Spaces

WU Xiu-mei

(Department ofMathematics,Heze University,Heze Shandong 274015,China)

The papermake a study of the role of Stepanova’s continuous separating families in the calss of linearly ordered and generalized ordered spaces and gives a theorem.And then using this theorem it shows that the minimal linearly ordered closed extension of theMichael line has a continuous separating family.

ContinuousUrysohn Spaces;Continuous separating family;Linear order topological space

1673-2103(2010)02-0018-02

O 181

A

2009-10-20

武秀美 (1979-),女,山东菏泽人,讲师,硕士,研究方向:代数几何.