复变函数与积分变换课程的教学改革思考

钟桦

复变函数与积分变换课程的教学改革思考

钟桦

针对目前高等学校理工科专业复变函数与积分变换课程教学中存在的一些问题，提出教学内容要与专业课教学紧密结合，教学方法要具有多样性和针对性，教学手段上将传统方式与多媒体技术结合，真正实现为专业课学习奠定良好基础的目标。

复变函数与积分变换；教学改革；教学方法；教学手段

复变函数与积分变换是是高校理工科相关专业的一门重要基础课，它不仅是数学领域中一种重要的解析工具，还在其他领域有着广泛的应用。在传统教学中，该门课程的讲授多是从数学的角度出发，学生感觉内容烦琐、抽象，且常与高等数学其他知识点混淆，导致学习难度大，学生学习兴趣不高。因此，必须在该门课程的教学内容、教学方法、教学手段等多方面加以改革，通过完善内容，突出应用，启发教学，开展实验等方式，真正走出一条数学理论与专业相结合的道路，达到学以致用的目的，为培养适应市场经济需要的应用型人才打下良好的基础。

一、完善教学内容

本着“掌握概念，强化应用”的原则，以提高学生素质为目的，针对复变函数与积分变换课程内容存在的弊端，在教学内容改革方面提出一些改进措施。

（一）增补相关的教学内容

目前该课程的教材一般对数学理论强调过多，应用性强调不足，而且有些内容与中学数学和高等数学重复，如：复数的概念、四则运算、极限、连续、导数、积分的定义等。有些专业课需要用到的知识在教材中没有体现，如Z–变换及其反变换的内容。因此，在教学过程中根据以上内容的特点，适当调整讲授的侧重点，对已经学过的知识作为复习，对相似的知识可通过类比教学使学生掌握它们之间的区别与联系。傅氏级数在专业课中有着非常重要的作用，而高等数学教材中没有相关内容，因此要将其作为重点内容增补进来。工科专业中涉及离散信号的处理方法是通过Z-变换及反变换实现的，而积分变换教材没有这个方面内容，必须将Z-变换及其反变换内容补充进来，为学生学习后续课程打下基础。另外，还可以适当增加Matlab的内容，让学生自己动手学习数学软件在复变函数中的应用，加强计算能力，帮助对课堂教学的理解。

（二）穿插学科发展背景知识

现代数学教育提倡将数学发展史与数学教学有机结合起来，而复变函数与积分变换理论的形成和发展有着深刻的历史背景，在教学中可以适当穿插数学史，让学生深入了解这门课程书本以外的知识。例如，在讲复数概念时引入复数的发现过程。它是16世纪中叶意大利卡尔丹在解三次方程时偶然萌发了对负数开平方的思想，后来随着微积分的发明与发展最终形成系统的理论体系。在讲欧拉公式时，引出它的发明者欧拉，并且介绍用i作为虚数单位也是由他首创。在讲解柯西积分定理、傅立叶变换等时补充介绍柯西、傅立叶的生平简介，使数学课变得不那么枯燥。在介绍傅氏变换相位和频谱图之际，简单向学生介绍傅氏变换的一些最新发展情况，使学生觉得傅氏变换很有用处，并且与自己的专业特点密切相关，很有学习的必要。在教学过程中对数学理论讲授的目的是要求学生了解它的思想和方法。这就要求老师具有较高的理论水平，要用精炼简短的表述让学生领悟内在的思想。例如通过积分变换介绍数学中变换的思想，通过柯西公式介绍边界决定内部的数学思想，通过复变函数的展开介绍数学逼近的思想等，这些正是数学中最富有吸引力、最迷人的部分，是数学美的体现。

（三）紧密结合专业知识

复变函数与积分变换虽然是专业课的基础，但是数学的定义、定理较多，工科学生常感到学习数学很枯燥。因此，在课堂教学时要尽量避免对理论的推导证明，学生只需要了解它的思想和方法。在讲授理论的同时强调其应用性，淡化课程中理论性较强而专业课又不需要的数学理论，并将专业课中所涉及的该方面内容用例题的形式自然地融合在一起，切实解决好内容的衔接问题和基础课与专业课相脱节的矛盾。例如，关于复数的模与辐角的计算，可以举物理学中的例子：已知流体在某点的速度为v=-1-i，求其大小和方向。这个例子虽然是求解模与辐角，但是有具体的物理意义，可以使学生明白它的应用以及模与辐角的实际意义，使学生记忆深刻，这比单纯地举例求z=-1-i的模与辐角要生动得多。例题求解完后进而补充介绍对于很多流体力学与弹性力学中的平面问题来说用复数及复变函数作为工具十分有效，这正是由于复数可以表示平面向量的缘故。

复变函数与积分变换理论对数学的许多分支有着深刻的影响，更具重要意义和价值在于可以让学生深刻领悟到该门课程的重要性，同时让非数学学科领域也得到广泛应用。在课堂教学中适当地给学生介绍一些应用的事例，可以增强学生学习的兴趣，从而产生学好该门学科的兴趣和积极性。

二、采用针对性的教学方法

课堂教学方法多样，复变函数与积分变换作为一门数学类的基础课程，具有高度的抽象性和严谨的逻辑性，因此在教学过程中采取怎样的教学方法就成为取得良好教学效果的关键所在。针对不同的教学内容采取不同的教学方法，才能提高学生课堂学习的效率，实现知识有效迁移，培养学生分析问题解决问题的能力。

（一）启发式教学方法的运用

在教学过程中要始终坚持以启发为主的教学思想，反对“填鸭式”的教学方法。以教师为主导，学生为主体，教与学的关系是以学为主，教服务于学，启发于学，促进于学。教师的主要责任就在于激发学生内在的学习动力，引导学生思考问题、解决问题正确的方法。例如在讲完解析函数的概念之后，可启发学生总结出解析与可导之间的关系，进而加深对解析概念的理解。在学习完复变函数积分、级数等内容之后，可启发学生归纳出与函数解析相等价的所有命题。这样让学生对所学过的知识进行总结归纳，达到温故知新的效果。再如讲解求复变函数积分的例题时，可启发学生总结出求解复积分的步骤和方法。首先判断被积函数的解析性，若解析，用什么方法。如果不解析后产生什么后果。如果被积函数在围线内有一个奇点时用什么方法解决。如果有多个奇点时又用什么方法求解。这样一步一步的引导和启发学生，最后总结出求复积分的方法，学生定会记忆深刻。因此，只要学生自身积极思考以及教师合理引导，就会使教学活动始终是在教与学两者的互动中进行，就能保证取得良好的教学效果，达到培养学生分析问题、解决问题的能力以及提高学生专业素质的教学目的。

（二）类比教学法的运用

所谓类比法就是指通过两个对象类似之处的比较，由以往获得的知识引出新的猜测方法。复变函数与积分变换作为高等数学的后续课程，与高等数学有着许多的相似和不同之处。因此，采用类比教学法，对相同的内容尽量少讲，或留给学生自学，而把不同的、容易混淆的内容作为教学的重点，力求精讲、讲透。

由于复变函数是实函数在复数域上的推广，所以复变函数中的许多定义、定理都与实函数相似，如极限、连续、可导、可微、积分等的概念。在讲解复变函数极限的定义时，要求学生观察复变函数极限与实函数极限在定义上上的差异，明确两者的不同之处在于趋近方式上，实函数是沿数轴的两个方向趋近，而复函数是平面上可以到达该点的任意路径。这个不同之处正是实函数与复函数不同的根源所在，它贯穿了实与复的始终。由极限引发的连续、可导、可微、积分都可由学生自己去总结它们之间的区别与联系。在积分变换教学中也可采用类比建构的方法对比傅立叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系：拉氏变换是傅氏变换的拓展，傅氏变换是拉氏变换的一种特例，他们的实质都是时间函数到频谱函数的映射，他们具有很多相似的地方。这种类比法还可应用在格林公式与复合闭路定理、实复函数的Abel定理以及Taylor级数等内容中。通过类比让学生了解新旧知识的关系，调动学习积极性，对知识起到承前启后的作用。

三、更新教学手段

随着科学技术的发展，社会已经进入信息高度发达的时代。网络、计算机、多媒体等的飞速发展也为教学提供了大量便利的工具使得教学活动不再局限于刻板的传统教学模式。在复变函数与积分变换的教学中，通过适当运用多媒体、投影仪等手段，使课程内容更加生动。但是作为数学课，演算与推理是必须的，这一过程在黑板上展示更好。对于一些含有图象信息的内容，如无穷大与复球面、共形影射等可以通过多媒体形式展示，通过动画效果使图形变换过程生动形象。因此，在教学过程中采用以板书为主，以多媒体技术为辅的教学手段，将板书与多媒体有机结合起来。合理的运用这些手段，必将使教学过程生动形象，同时更好地提高教学质量。

另外，还可以通过增加实践环节锻炼学生的实际动手能力。实践教学是新时期高等教育教学改革中的重要内容和组成部分。通过开展实验课，利用相关计算机软件，培养学生创新精神、实践能力和创业意识。复变函数与积分变换在长期的教学过程中并无实验环节，因此有必要创建融合课程理论与数学实验于一体的新型授课模式，将数学实验内容与数学建模相结合，使学生利用计算机解决复变函数与积分变换中的实际问题。例如，增加傅立叶积分变换在信号处理中的应用实验课，使学生充分理解傅立叶变换的物理意义，熟练掌握其应用特性；用Matlab了解关于数字信号的知识，学习产生信号和绘制信号的基本命令和一些基础编程语言。这些都将会让学生受益非浅。

复变函数与积分变换课程的教学改革是一项系统工程，需要不断改进和完善。要真正实现人才培养目标，还需要广大教师共同努力，让学生真正学好这门专业基础课程，才能在以后学习专业课中轻松自如地掌握相关知识，并运用于实践中。

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[4]龚定东，郭玉琴.关于复变函数与积分变换课堂教学的思考[J].高等数学研究,2009(12).

O174.5；G642.0

A

1673-1999（2010）24-0181-02

钟桦（1980-），女，重庆人，博士，重庆科技学院数理系讲师，研究方向为应用数学。

2010-09-26