真实地思维 有效地参与——从对两个《用二分法求方程的近似解》设计片段谈起

214174 江苏省无锡市惠山区教育局教研室 叶亚美

近日我市进行了教学新秀参评选手的上课比赛,高中数学的上课课题为《§2.5.2用二分法求方程的近似解》(苏教版必修一),看了 16位选手的设计,再听完 16位选手的课后,深切地感受到一堂好课的生成与设计者的教学理念是密不可分的,下面选取其中具有代表性的二个设计片段,通过分析其亮点与不足,以期对提高教学设计的有效性有所启发.

1 两个设计片段及评析

设计1

1.创设情景

C C T V幸运 52节目：商品价格竞猜游戏

说明：感受“对半分”的思想,并由此引出课题,定义“二分法”.

2.探索新知

问题 1：已知函数 f(x)=l g x+x-3,该函数在(2,3)上是否有零点?为什么?

问题 2：已知方程 l g x=3-x,该方程在(2,3)上是否有根?若有根,有几个?说明理由.

问题 3：问题 2中方程的根大概等于多少呢?(精确到0.1)

问题 4：用二分法求方程近似解的一般步骤如何?用二分法求方程近似解应注意些什么?

说明：①师生共同探讨,得出可借助函数 y=l g x和 y=3-x的图象交点的横坐标,大致确定方程 l g x=3-x根所在区间;②引导学生思考,如何缩小根所在的区间;③重点分析如何根据精确度确定运算次数;④用自己的语言表述求方程 l g x=3-x近似解的过程,引导学生从中得到用二分法求方程近似解的一般步骤.

以下略

点评 本设计的亮点如下：

其一,注重学生真实体验

本设计从学生熟悉的“幸运 52”中“商品价格竞猜”入手,一下子将学生的注意力牢牢吸引,在竞猜过程中,隐含的区间让学生逐步感受到“对半分”的意义,体会到“对半分”思想的价值.也为后续用二分法研究方程的近似解埋下了伏笔.

其二,关注前后知识联系

函数零点知识是上节课学习的内容,是本节课研究方程的近似解的基础,从复习函数零点知识入手,体现了教师对前后教材内容间相关关系的重视.

但看似顺利成章的设计,实际上是经不起推敲的,其不足可从以下两方面看：

其一,忽视学生从已知知识生成新问题的能力

在学过函数零点的知识后,学生通过零点存在法则可以直接完成问题 1,应该不会提出问题 2,因此,若教师没有给出问题 2,学生根本不会由函数 f(x)=l g x+x-3在(2,3)上是否有零点想到去研究方程 l g x=3-x在(2,3)上的近似解.

其二,削弱学生用已有知识解决新问题的能力

本课的重点是要解决问题 2并由此得到利用“二分法”求一般方程近似解,如果没有前置的问题 1,学生还能自觉想到用函数零点知识解决方程近似解的问题吗?显然这对部分学生来说是困难的.因此,前置的问题 1中函数零点问题对解决问题 2是一种暗示,不利于学生主动利用已有知识解决具体问题.

设计2

1.创设情景

求证：方程 x2-2x-1=0有实根.

说明：方法 1――用求根公式;方法 2――用“△”判断;方法 3――画出 f(x)=x2-2x-1的图象;方法 4――借助上节课例 2的启示,即零点存在法则.

2.探索新知

问题 1：判断方程 x3-3x-1=0是否有实根?

问题 2：求方程 x3-3x-1=0的近似解?

说明：①通过将问题 1与“求证：方程 x2-2x-1=0有实根”的比较,明确求方程的解可以转化为函数零点问题,且问题 1的解决只能借助图象或零点存在法则.②学生画出 f(x)=x3及 g(x)=3x+1的图象后,可直接追问问题 2,并指出图象法不够精确,将学生的注意力集中到利用零点存在法则判断方程解的方法上.③在利用零点存在法则时,关注零点存在法则需先确定一个区间,在此基础上引导学生通过对分区间缩小近似解所在的范围.

问题 3：为什么要找中点?找三分之一点是否也可以?

问题 4：计算何时了?

说明：让学生感受二分的优越性,并明确不同的精确度决定了二分次数,通过问题 3和问题 4,体会如何根据精确度确定运算到哪一步为止.

点评 本设计的亮点如下：

其一,自然地完成知识体系的构建

从证明学生熟知的二次方程根的情况入手,将学生引入对三次方程实根情况的研究,符合学生的认知规律,充分体现了教师对数学知识体系的关注,也有利于学生构建方程解的知识体系.

其二,将旧知复习贯穿于问题解决中

对方程 x2-2x-1=0只需证明其有实根,而不要求出实根,为学生利用零点存在法则提供了契机,从而将复习函数零点知识的过程体现在问题解决过程中,使知识真正做到“为我所用”,体现了教师的匠心.

其三,将新问题融合于方法对比中

由于问题 1与情景创设中方程形式类似,学生自然而然会尝试用上面的四种方法去解决问题 1,在对比中深切地感受到零点存在法则判断方程 x3-3x-1=0是否有解的优越性上,为“判断方程 x3-3x-1=0有解”自然过渡到“研究方程 x3-3x-1=0的近似解”提供了保证.

本设计无疑也有不足之处,其不足处在于“求根的近似值”时,学生想不到用“对半分”的思想,“对半分”显得十分牵强.

2 对教学设计的思考与建议

上面两个设计片段均体现了目标明晰化、方法多样化、训练建模化,但显然仅有这些是不够的.人民教育出版社章建跃主任提出：“我们应当教概念的概括过程;应当教理解,即要使学生学会在具体背景中建构数学意义;应当教应用,即要使学生学会根据问题需要调动头脑中的知识;应当教发现与创造”.因此,教学设计的重心应在“让学生有真正的思维参与的机会”,努力为有效教学奠定基础,从这个意义上说,教学设计必须关注以下几点.

2.1 把握旧知复习的时机

课堂教学中,经常可以看到,在学习新知识之前,教师将上节课的知识或本节课学习过程中将要用到的知识复习一下,这固然可以使学习扫清知识上的障碍,为课堂教学赢得先机,但把握不恰当,正如设计一的问题1,反而会成为教师的有意铺垫,这样的铺垫除了能把学生引到教师事先预设的轨道上,它限制了学生的思路,不利于学生学习能力的提高.事实上,学生头脑中的相关知识只有在解决问题时被检索和提取出来,才是有意义的,检索与提取的过程恰恰是学生参与课堂教学的有效时机,省略了这样的过程等于忽略了学生通过亲身体验,发现问题、解决问题的过程,久而久之,学生根本不会自己寻求解决问题的途径.因此,把握旧知复习时机,是学生真实思维,有效参与课堂教学的前提.

2.2 注重生活体验的价值

伟大的教育家陶行知先生说过：“生活即教育”、“教学做合一”,“为生活而教育”.他认为,教育起源于生活,生活是教育的中心.而随着社会的进步,学生获取知识的渠道也是多方面的,因此,教学应该根植于学生现有的生活,与时俱进.的确,学生的生活环境与现有知识决定了数学教学并不需要将科学家探究过程全程重走一遍,数学教学的目的应放在促进学生有效学习,为学生的终身发展服务上.设计一的生活体验给了学生实质性思维参与的机会,让学生在体验中感受到数学思想的价值,应用于问题解决,是一种基于体验的有效教学.

2.3 关注生成问题的能力

爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要,因为解决问题也许仅是数学上的或实验上的技能而已,而提出新的问题,新的可能性,从新的角度去看旧的问题,却需要创造性的想象力;而且标志着科学的真正进步.”因而,只有在思维真正参与下才能提出问题.然而,课堂教学中,学生的问题意识和问题能力很容易被忽视,这也是阻碍教学走向有效的重要原因.本课教学设计中,为增强学生的问题意识,培养学生提出问题的能力,可设置如下问题：(1)方程 x2-2x-1=0的解的情况怎样?(2)对方程 x3-3x-1=0,你希望了解它在实数解方面的哪些问题?这样的以学生为主体的设问,给了学生提出新问题的机会,给予了学生展现真实思维的机会,体现了教师对学生主体地位的尊重,又由于求不出方程 x3-3x-1=0的解,使研究近似解成为必然.

2.4 重视方法形成过程的思考

有效教学离不开学生的思维参与,而正确的思维来源于对知识的透彻理解,因此,教学设计时应注重知识的形成过程,在充分暴露学生的思维过程的同时,引导学生领悟数学本质.设计二通过环环相扣的问题,让学生一步步完善了对“求方程 x3-3x-1=0近似解”的认识,特别是问题 3和问题 4,在展示学生思维过程的同时,使学生认识到“二等分”的优越性,理解了“精确度”与“近似解”的关系,无疑对深化学生思维、完善“用二分法求方程近似解”的认识十分有利.

总之,有效教学要求下的教学设计,应关注学生的生活,注重学生真正的思维参与,以学生的发展为核心,体现出开放性与生成性,只有这样,才能使课堂教学充满生机与活力.