用Excel解决结构力学计算问题

常建梅 宋媛媛

0 引言

在长期的结构力学教学中,发现学生做作业需要的时间很长。究其原因:1)课程内容不熟悉致使方法运用不熟练造成花费时间较多;2)计算内容很多,手算起来不容易,尤其是超静定结构,方程解错了,后续的内力位移等都会出错。回过头来重算,所用的时间自然就增多了。而对于学习结构力学,一定数量的习题是必须要保证的,否则很难掌握和理解所学的内容。这就给学生带来很大的困扰,在学习结构力学和其他课程的时间分配上经常会有冲突。在保证一定计算能力训练的基础上,如果能再找到一种简单的辅助算法,一定可以让学生分析问题和解决问题的能力得到同步提高。

Excel拥有强大的数据处理功能。近年来,在诸多领域包括土木工程,越来越多的人已经开始使用Excel来处理一些实际问题。另一方面,对Excel的掌握也正在成为国内外土木工程领域中的一项不可缺少的要求,在美国,利用Excel制作表格用于解决工程问题的计算表单(Spread sheet)是对结构工程师的一项基本要求,美国注册结构工程师的考试大纲就明确将Spread sheet列为考试内容,而且美国的很多大学里的土木工程专业,也开有计算表单方面的课程。所以,让在校的本科生将重要的专业基础课《结构力学》和强大的软件Excel联手,在学习结构力学的过程中辅以Excel程序应用,不仅解决学习阶段的问题,还可以为以后的职业生涯开辟更宽广的道路。

1 用Excel求解线性方程组

1.1 在力法和位移法中的应用

在超静定结构计算中,不论位移法还是力法,都要求解线性方程组。每一个系数的计算可通过结构力法的方法得到,那解方程的过程则可以交给Excel来快速解决。在Excel中求解线性方程组,可以通过矩阵运算和规划求解两种方法。例如力法中,经过图乘后各系数已经算出,方程为:

那么解方程可通过Excel矩阵运算求解。步骤如下:

1)在Excel单元区域A1:B2和 D1:D2中输入系数矩阵A和常数阵列B所有元素的值。2)选中A4:B5作为A1:B2系数矩阵的逆矩阵的位置,输入函数“=MINVERSE(A1:B2)”,同时按Ctrl+Shift+Enter,得到逆矩阵。3)进行矩阵相乘,输入“=MM ULT(A4:B5,D1:D2)”,同时按Ctrl+Shift+Enter,得到结果。

可通过选中单元格D4:D5,右键-设置单元格格式-数值-小数位数来设置结果的显示位数。

当然,求解线性方程组也可通过规划求解来实现。但没有利用矩阵运算函数方便,这里就不再详细叙述了。

1.2 在矩阵位移法中的应用

学习矩阵位移法,学生也要通过几个数目的习题理解矩阵位移法的思路和整个过程,如局部坐标系下单元刚度矩阵建立,整体坐标系下单元刚度矩阵的生成,等效荷载转换等等。在这一过程中有大量的矩阵运算,那我们都可以通过Excel中的矩阵加减、矩阵相乘、矩阵的逆运算很方便的实现。

由上所述,在结构力学计算中通过Excel矩阵运算,可方便地求解方程组,为力法、位移法、矩阵位移法等计算提供了很大方便,值得尝试。

2 用Excel计算连续梁影响线

土木工程桥梁专业要求很好地掌握影响线。连续梁影响线形状可根据机动法很容易绘出,但每一位置处所求量值的影响线的数值计算较为复杂。对等跨连续梁,还可以通过查表得到影响线数值的数据;对不等跨连续梁,就需要找一种简便易行的辅助方法。其次,还要求出在所加荷载如均布荷载作用下所求量值的大小。根据公式:

这就需要知道影响线与轴线所围合图形的面积,这一计算过程是很繁琐的,而这正是Excel的优势所在。下面依次从两个方面予以说明。

1)求指定量值影响线数值。以图1为例,如要求 MB的影响线。图1b)为 MB的影响线形状。

以第一跨为例,影响线数值计算步骤如下:

a.分别在A2中输入连续梁跨度L为6 m,B2中输入x为0,C2中输入“=A2-B2”,D2中输入MA值为-0.5,E2中输入“=2*A2-B2”,F2中输入MB的值为1,G2中输入“=A2+B2”,H2中输入“=B2*C2*(D2*E2+F2*G2)/(6*A2)”。b.在B3中输入0.6,B4中输入1.2,使用右下角小十字下拉形成等比数列,其余各列直接利用下拉十字生成表单如图2所示。

其余跨的MB影响线数值、其他量值的数值可用同样的方法求得。

2)计算影响线的面积。由于图1b)影响线形状为曲线,面积可通过梯形公式、辛普森公式等数值积分方法求得。以辛普森公式为例,公式为:

在Excel中只要在图2的基础上继续进行即可。步骤如下:

a.在I2输入“=*G2”,I14中同此。其他 I列输入“=2*G2”。b.在 J3中输入“=2*G2”,每隔一个输入一次。代表积分中间隔的数据点。c.分别对I列和J列求和。d.将求和数据相加并乘以h/3,得到积分结果,存放于K15,如图3所示。

由此可见,在连续梁影响线的计算过程中,运用Excel强大的数据批处理功能,可大大提高效率。在三铰拱、无铰拱的计算中,更可以利用这种方法计算各个截面内力。

3 结语

借助Excel简化计算,学生在学习结构力学的过程中可以起到事半功倍的效果,大大提高学习效率。学生用于计算的时间显著减少,所做习题量增加,并有更多时间用于思考一些深层次的问题;而且借助其强大的功能,Excel软件可以推而广之地有效解决许多其他方面、其他课程的实际问题。在这一过程中,使Excel运用更加娴熟,为以后实际工作打下坚实基础。Excel确实是学习结构力学的有效工具。

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