均匀线阵幅相误差和互耦效应的自校正

曾 奋， 董英凝， 邓维波

（哈尔滨工业大学 电子与信息工程研究院，黑龙江 哈尔滨 150001）

0 引言

波达方向的估计是智能天线的核心技术之一，MUSIC等超分辨算法是常用的高性能的波达方向估计的方法。然而阵列的幅相误差和互耦效应严重影响了超分辨算法的性能，在使用这些算法前，必须采取合适的方法校正这些误差。目前采用的校正方法主要分为校正源方位精确已知的有源校正法和校正源方位未知的自校正法[1]。对于工作波长很长的大型阵列，由于环境所限，往往不能通过放置方位精确已知的校正源来实现校正，同时环境的变化会导致阵列误差参数的变化，这时需要实时性更强而且不需要校正源方位信息的自校正算法。

自校正算法通常根据某种优化函数对信号源方位和阵列误差参数进行联合的估计[1-2]；对于均匀线阵，其特殊的结构决定了自校正过程中必然存在相位误差和方位参数之间的耦合[3-5]。当仅存在幅相误差时，可利用阵列输出协方差矩阵的特殊结构建立各阵元间幅相误差的关系，并利用约束条件来解除相位误差和方位参数之间的耦合[6-10]。然而互耦效应同时存在时，会导致这种解模糊方法失效，这使得对均匀线阵幅相误差和互耦效应的同时自校正成为一个难题。

本文分析了自校正算法对均匀线阵失效的原因，指出算法对相位误差的估计和DOA的估计存在耦合，但仍然能够正确地估计阵列的幅度误差和互耦系数。基于这个特点，本文首先利用自校正算法对这两种误差进行估计，将得到的估计值用来修正阵列输出的协方差矩阵；然后利用修正后的阵列输出协方差矩阵的特殊结构和阵列相位误差的约束条件，解除相位误差估计的模糊，从而实现幅相误差和互耦误差的自校正。

1 信号模型

假定由M个无方向性的传感器组成的均匀线阵，阵元的间距为d，N个互不相关的远场窄带信号从不同的方向入射到阵列，信号的波长为λ。当阵列同时存在幅相误差和互耦误差，阵元的输出可表示为

其中， S ( j)表示信号源输入的 N ×1维向量； V (j)表示阵列噪声的 M ×1维向量，每个阵元上的噪声都是功率相同的高斯白噪声； X ( j)表示阵列输出的 M ×1维向量；A是线阵的M×N维理想阵列流型矩阵，a(θN) 为阵列的导向矢量。 Γ =Γγ· Γθ表示阵列的幅相误差矩阵，表示阵列的幅度误差，而表示阵列的相位误差；C表示阵列的互耦误差矩阵，根据阵列的不同结构，互耦矩阵的形式可作不同的假设，均匀线阵的互耦矩阵结构为一带状、对称Toeplitz矩阵。信号、噪声和阵列输出的协方差矩阵如下：

对XR 进行特征分解，有：

其中，SU 是信号子空间，NU 是噪声子空间。

2 改进的均匀线阵幅相误差和互耦效应校正算法

2.1 均匀线阵自校正存在的问题

自校正算法根据某种优化函数对信号源的方位和阵列的误差参数进行联合的估计，现在以Friedlander和Weiss提出的经典自校正算法[2]为例，说明均匀线阵在自校正中存在的多值性问题。经典的自校正算法利用阵列实际的导向矢量与阵列输出协方差矩阵的噪声子空间正交的特点，通过最小化代价函数式(4)来完成对阵列误差参数和信号源DOA的估计[2]。

假设 { A1, C1, Γ1}是使代价函数 JC最小的一组解，对于均匀线阵，由于：

则必然存在一个对角矩阵：

使得：

2.2 改进的均匀线阵幅相误差和互耦效应校正算法

如上文所分析，由于均匀线阵的特殊结构并不影响自校正算法对互耦矩阵和幅度误差矩阵的估计，所提出的改进算法首先利用经典自校正算法[2]，得到阵列的互耦矩阵C和幅度误差矩阵γΓ，然后用这两个估计量修正阵列输出的协方差矩阵：

这时，我们只需要考虑计算阵列的相位误差。

在没有阵列误差和噪声的理想状况下，阵列输出的协方差矩阵xrR 应该具有Hermitian Toeplitz结构，xrR 的元素为

利用xrR 的Hermitian Toeplitz结构和式(7)，建立起各阵元的相位误差之间的关系。

式(8)中，i- j = k - l 表示元素 r˜ij与 r˜kl位于同一条对角线上。利用所有上对角线的元素能得到类似式(8)的方程的个数为，但实际上独立方程的个数只有M- 2 个，经过分析证明，仅利用第一上对角线元素组成的M- 2 个独立方程得到的参数估计的性能最好[7]。选定第一号阵元为相位参考点，则待估计的相位误差参数为 M -1个，现在只有 M - 2 个独立的方程，仍需一个约束条件来确定一组唯一的解。文献[8]分析了多种约束条件，并指出最小模约束条件对于常见的阵列相位误差的校正效果最好。这样，我们利用第一上对角线的 M - 2 个独立的方程和最小模约束条件，便可以完成对相位误差的无模糊估计，它可以表示成一个带线性约束的最小二乘问题，如式(9)所示：

幅相误差和互耦效应同时存在时的自校正算法可描述为以下的三步：

① 利用经典自校正算法得到互耦矩阵C和幅度误差矩阵γΓ的估计；

② 利用式(6)修正阵列输出的协方差矩阵；

③ 利用式(9)完成对相位误差θΓ的估计。

3 计算机仿真结果

本文通过两个实验验证校正算法的性能。

实验一 蒙特卡洛仿真。实验选择 10M= 的均匀线阵，d取半波长，N =3，分别位于-20°, 0°和25°，取512个快拍，信噪比从0 dB到40 dB变化，蒙特卡洛实验的每一个信噪比下，做200次的独立实验。假设阵元间只有相邻单元存在互耦，其互耦系数为 c=0. 2+0.12i，幅度误差的取值为：1.20，1.13，0.81，0.80，0.94，0.81，0.78，1.09，0.80，1.01；相位误差的取值为（单位为度）：3.0，-0.6，-13.2，-11.4，-0.4，2.0，-11.4，13.7，-7.2，-11.6。仿真结果如图1到图5所示。

图1 对阵列幅度误差估计的性能

图 1所示的平均偏差是对各阵元幅度误差估计偏差的绝对值的平均，而平均均方根误差是对各阵元的相位误差估计均方根误差的平均。图1到图3说明经典自校正算法可以对均匀线阵的幅度误差和互耦系数作出正确的估计；图4给出了经典自校正算法[2]对阵列相位误差的估计，由于多解性的存在，算法不能收敛于正确的相位误差上，从而导致了错误的估计。图5是使用了式(9)解模糊后的相位误差估计，算法很好地去除了相位估计的模糊性，可以看出算法对相位误差的估计是有偏的，高信噪比的时候平均偏差在1.2度左右，平均均方根误差在0.3度以内。

实验二 利用实验一的实验条件，校正源的信噪比固定为10 dB，利用本文提出的校正算法对阵列的误差进行校正。观察校正前后阵列对位于-2度和2度两个相距很近的信号源的分辨能力，信号源的信噪比为10 dB，对未校正的MUSIC谱和校正后的MUSIC谱分别做20次独立的实验，将这些实验的MUSIC谱作于图6中。

从图6可以看出，未经校正的阵列完全不能分辨出这两个相距很近的信号源，然而经过本文提出的算法校正后，MUSIC谱上可以很清楚地分辨出两个分别位于-1度和1度的信号源。这说明了本文所提出的自校正算法对阵列超分辨性能有很大的改善。

图2 对互耦系数幅度估计的性能

图3 对互耦系数相位估计的性能

图4 经典自校正算法对相位估计的性能

图5 本文改进的自校正算法对相位估计的性能

图6 算法对超分辨测角性能的改善

4 结语

由于均匀线阵的特殊结构，在自校正过程中必然存在相位误差估计和信号源方位估计的耦合，使得算法出现多解性，导致自校正算法的失效。本文用蒙特卡洛仿真验证了这种多解性只出现在相位误差估计和信号源方位估计上，而自校正算法仍然能正确地对幅度误差和互耦系数进行估计。在此基础上，利用最小模约束条件很好地解决了相位误差估计的模糊问题。本文提出的改进的自校正算法不需要阵列误差以及DOA的先验知识，对幅度误差和互耦误差的估计有很高的精度，同时也很好地解决了自校正算法对均匀线阵相位估计和DOA估计模糊的问题，阵列用该算法校正以后，超分辨的性能得到了很大的改善。

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