你看“田”字电阻网络多变幻

顾春杰 王军明

(浙江省奉化市奉化中学,浙江奉化 315500)

在高中物理竞赛中,我们总会讨论二端无源电阻网络求等效电阻的问题.其中“田”字形网络出现较多,小小“田”字可以有“大变化”:图1是一个田字形电阻网络,先规定一些叫法:把 A1、A2、A3、A4称为“顶”,把 B1、B2、B3、B4称为“腰”,而 O称为“心”.这样一来,可以把田字形网络分为:顶—顶;腰—腰;顶(腰)—心;顶—腰,共 4大类、8小种的情形.

图1

根据“田”字网络的对称性,假设两端加上电压,总能找到电势相等的点,那么就可以将接在等电势节点间的导线或电阻断开(即去掉),也可以用导线或电阻将等电势节点连接起来,此种处理所得电路与原电路等效.

下面我们一一呈现.

1 “顶—顶”作为二端网络的端口

(1)求对角顶点间等效电阻RAB:如图2所示,已知“田”字形电阻网络每边的电阻均为 R(以下求解问题类同),求 A、B间的等效电阻.

图2

图3

图4

(2)求相邻顶点间等效电阻RAB

图5

图6

2 “腰—腰”作为二端网络的端口

(3)求相邻腰点间等效电阻RAB

图7

图8

(4)求相对腰点间的等效电阻RAB

解析:假设AB两端加电压,电流从 A流入、B流出,此情景跟第 2种情景相似,C、D、O都是等势点,处理方法与情景2相同,图9简化成图10电路,利用串并联的知识易得:AB间等效电阻:RAB=R.

图9

图10

3 “顶(腰)—心”作为二端网络的端口

(5)求顶对心的等效电阻RAO

图11

图12

(6)求腰对心间的等效电阻RAO

图13

图14

4 “顶-腰”作为二端网络的端口

(7)求相邻顶腰间的等效电阻:如图15.

解析:这是一个不对称的问题,针对这种不对称情况,我们想方设法把它转化为对称的情形,运用叠加原理,图15相当于右边图16和图17两种对称情况的叠加,此种处理与原情况等效.分别算出两种对称情况下流过 AB边的电流,叠加得图15中流过 AB边的电流,再利用 UAB=RAB×I,求解等效电阻 RAB.

图15

图16

图17

图18

图19

(8)求相间顶腰间的等效电阻RAB:如图20

解析:同理图20情况亦可看成是两种对称性较好的情形图21、图22的叠加,图21中流过两支路电流分别为

图20

图21

图22

图23

图24

(9)拓展:再来看一个似乎不是“田”字形电阻网络的问题

3只相同的金属圆圈,两两正交的连成下图所示的形状.若每一只金属圈原长的电阻为r,试求图25中 A、B两点间的等效电阻RAB.

图25

以上我们讨论了“田”字形无源二端网络的8种变化及立体网络可转化为“田”字形网络的情形,分析归纳,得出“田”字形无源电阻网络处理的一般方法:假设二端加上电压,电流从网络一端流进,另一端流出,根据电路的对称性找到电势相等的一系列点,采用“断开、去除、折叠”等手段简化网络,利用简单串并联电路的规律求解等效电阻,较为复杂的情况需要用到电路的叠加原理和求解电流分布来确定等效电阻.事实上在求解具体问题时,往往多种手段集于一题,问题才能解决.