均匀圆阵DOA估计的一种酉变换方法

徐德琛,刘志文,齐晓东,2,徐友根

(1.北京理工大学信息与电子学院,北京100081;

2.中国电子科技集团公司第五十四研究所,河北石家庄050081)

0 引言

子空间类DOA估计算法包含大量的复数运算,其中,特征子空间计算硬件实现复杂[1]。文献[2]中提出的酉变换实值化方法只适用于均匀线阵[3];文献[4]中提出的均匀圆阵模式空间酉求根MUSIC算法容易受到残留失真模式的影响。为了在圆阵阵元空间内实现子空间类DOA估计算法的实数化,首先利用均匀圆阵的中心对称性得到中心轭米特的协方差矩阵估计,利用文献[2]中的方法实现协方差矩阵估计和导向矢量的实数化,最后综合得到均匀圆阵阵元空间中的酉变换方法。此外,引入了前后向平均来保证实际应用中该酉变换方法的有效性。基于上述酉变换和前后向平均的MUSIC算法在性能上优于传统的MUSIC算法,而且仅包含简单的加法运算,易于硬件实现。

1 信号模型

设P个窄带远场信号入射到如图1所示的M(M为偶数)阵元均匀圆阵上,阵列响应的数学模型为:

x(t)=As(t)+n(t)。(1)

式中,x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T为t时刻M个阵元的响应向量,T表示转置;s(t)为入射信号向量;n(t)为由方差均为 σ2且不相关的零均值高斯白噪声构成的向量;A为导向矢量矩阵。

图1 M阵元均匀圆阵

设A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θP)],导向矢量a(θi)=[a1(θi),a2(θi),…,aM(θi)]T,其中,i=1,2,…,P,aM(θi)=exp[j2π(r/λ)cos(2π(m-1)/M-θi)];λ为入射信号波长;r为阵列半径;θi为第i个信号的方位角。阵列响应的协方差矩阵为Rx=E[x(t)x(t)H]=ARsAH+σ2I,其中 ,Rs=E[s(t)◦sH(t)]为入射信号的协方差矩阵;I为M×M的单位矩阵;H表示共轭转置。

2 均匀圆阵DOA估计的一种酉变换方法

当采用子空间类算法估计入射信号的方位角时,需要对协方差矩阵Rx进行特征值分解来计算噪声或信号子空间,这需要大量的复数运算,硬件实现复杂。为了实现均匀圆阵情况下子空间类DOA估计算法的实数化,下面给出均匀圆阵阵元空间中的一种酉变换方法。

设酉矩阵为:

式中,I为×的单位阵;J为×的反对角线元素为1的置换阵,则

由均匀圆阵的中心对称性可知=J()*,此处,J为M×M的反对角线元素为1的置换阵,*表示取共轭。于是J(H)*J=U^Rx,即H为中心轭米特矩阵。

定理1[2]:设酉矩阵为:

式中,I和J分别为单位阵和反对角线元素为1的置换阵。对于任意的M×M中心轭米特矩阵R,˜UR˜UH为实对称矩阵。

设酉矩阵为:

将式(1)两边左乘矩阵U,

式中,˜n(t)是由方差均为 σ2且不相关的零均值高斯白噪声构成的向量。若设:˜A=[˜a(θ1),˜a(θ2),…,˜a(θP)],则

即˜a(θi)为实向量;而根据定理1可知,Ry=E[y(t)yH(t)]=URxUH为实对称矩阵,因此,若基于式(4)运用MUSIC算法,则无论是特征值分解还是空间谱计算均可以在实数域内完成,与未经式(3)所示酉变换的情况相比大大减小了运算量。从硬件实现来看,实对称矩阵特征值分解的硬件实现要比复共轭对称矩阵情况容易得多,以并行Jacobi算法[5]为例,前者对应的是实向量的平面旋转,可由单个CORDIC来实现,而后者对应的是复向量的旋转,硬件实现复杂[1];而式(3)对应的仅是简单的加法运算,所以总地来说,通过式(3)所示的酉变换可大大降低子空间类DOA估计算法的硬件实现复杂度。

3 引入前后向平均的酉变换方法

实际中,若根据有限的采样数据估计协方差矩阵Rx,设Rx的估计为中,N为快拍数,则虽然为轭米特矩阵,但不是中心轭米特矩阵,此时不能满足定理1的条件,因此,通过上述酉变换得不到协方差矩阵Ry的实对称的估计。由文献[2]可知:

由矩阵范数三角不等式可得:

‖

-

Ry

‖≥‖Re[

]-

Ry

‖。可见,在欧氏距离意义上,用Re[

]作为

Ry

的估计比用

更准确,因此,基于Re[

]的DOA估计性能优于基于

的DOA估计性能。

为了描述方便,将均匀圆阵情况下基于上述酉变换和前后平均的MUSIC算法称为“均匀圆阵酉MUSIC算法”。

4 仿真实验

仿真实验1:为比较均匀圆阵酉MUSIC算法和传统MUSIC算法的性能,做如下的仿真实验:两非相关入射信号方位角分别为10°和25°,阵元数目为12,r/λ=0.9,做100次独立仿真,仿真结果如图2所示。由图2可见,当信噪比较低、快拍数较小时,均匀圆阵酉MUSIC算法具有更小的DOA估计均方误差。

图2 均匀圆阵酉MUSIC与传统MUSIC的性能比较

仿真实验2:为比较均匀圆阵酉MUSIC算法和模式空间酉MUSIC算法[4]的性能,做如下的仿真实验:阵元数目为12,快拍数为100,信噪比为0 dB,模式空间酉MUSIC算法中的最大相位模式阶数为2πr/λ,其中,◦表示向下取整,对入射信号方位角为[10°,30°]和[10°,25°]的 2 种情况分别做次独立仿真,仿真结果如图3所示,其中,r为阵列半径,λ为入射信号波长,二者的相对大小反映了阵列孔径的大小。

图3 均匀圆阵酉MUSIC与模式空间酉MUSIC的性能比较

由图3可见,均匀圆阵酉MUSIC算法的性能优于模式空间酉MUSIC算法,尤其是r/λ较大时二者的性能差别很大,这是因为残留模式会严重影响算法的性能。在实际应用中阵列的结构一般是固定的,因此,均匀圆阵酉MUSIC算法比模式空间酉MUSIC算法更适于工作频带较宽的测向系统。

5 结束语

利用均匀圆阵的中心对称性提出了阵元空间中的一种酉变换方法,并且通过前后向平均保证了该方法在实际应用中的有效性。利用该酉变换方法可以实现子空间类DOA估计算法的实数化,从而大大减少此类算法的运算量,降低其硬件实现复杂度。仿真结果表明,基于该酉变换方法的MUSIC算法的性能优于传统的MUSIC算法和模式空间酉MUSIC算法。

[1]HEMKU MAR N D,CA VALLAR O J R.Efficient Complex Matrix Transformations with CORDIC[C].Canada:Proc.of 11th IEEE Symposium on Computer Arithmetic,1993:122-129.

[2]HUARNG K C,YEH CC.A Unitary TransformationMethod for Angle-of-arrival Estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1991,39(5):975-977.

[3]KIM M,ICHIGE K,ARAI H.Implementation of FPGA Based Fast DOA Estimator Using Unitary MUSIC Algorithm[C].USA:Proc.of 58th IEEE Vehicular Technology Conference,2003:213-217.

[4]BELLONI F,KOIVUNEN V.Unitary root-MUSICTechnique for Uniform Circular Array[C].USA:Proc.of 3rd IEEE ISSPIT.Piscataway,2003:451-454.

[5]GOLUB G,LOAN C V.Matrix Computations[M].MD:The JohnsHopkins University Press,1996:414-438.